探究“雪花”曲线

张志勇

美丽的分形是大自然景物的抽象，它无比丰富的细节、绚丽多彩的结构常令我们流连忘返，图1中的科赫（Koch）雪花曲线等给我们以美的遐想。分形在多个领域有着广泛的应用，如物理中的湍流、化学中的高分子链、天文学中的星团分布、地理学中的河流与水系、生物学中的全息现象……

下面我们要探究的是美丽的分形背后的数学身影。

首先，我们来了解一点分形的科普小知识，提及分形，首先要涉及的是其自相似性，所谓自相似性即是指局部是整体成比例缩小的性质，通俗一点，就是当用不同倍数的照相机拍摄研究对象时，无论放大倍数如何改变，看到的照片都是相似的，由此，你能想象Koch雪花曲线的自相似性吗？

雪花曲线由瑞典数学家科赫于1904年构造，因为酷似雪花，所以叫“雪花曲线”，其构造规律是这样的：从图2-1所示的等边三角形开始（称为初始元），将三角形的每条边三等分，并在每条边三分后的中段向外作新的等边三角形（舍去中间的一段，保留两侧的两段，将中间的一段改成夹角为60°的两个等长的直线段，如图2-2），再细分便得到图2-3……不断重复这样的过程，隐去不要的部分，便可得到图1所示的雪花曲线。