C2⊗C3中Bell基型不可拓展的最大纠缠基和互不偏基

杨 强,陶元红,南 华,张 军

(延边大学 理学院数学系,吉林 延吉 133002)



C2⊗C3中Bell基型不可拓展的最大纠缠基和互不偏基

杨 强,陶元红,南 华,张 军

(延边大学 理学院数学系,吉林 延吉 133002)

先在C2⊗C3中得到一组Bell基型完备的不可拓展的最大纠缠基,再通过构造C3的一个标准正交基给出另一组Bell基型完备的不可拓展的最大纠缠基,同时保证这两组基是互不偏的,并给出两类Bell基型互不偏的不可拓展的最大纠缠基.

Bell基型；最大纠缠态；互不偏基；不可拓展的最大纠缠基

0 引 言

自从多体量子系统中引入一组不可拓展的直积基(UPB)概念以来,人们已获得了大量有实际应用价值的理论成果[1-2].UPB是一个由不完备正交直积基构成的集合,在其互补空间中没有直积态,包含UPB的态不能被局部测量和经典计算区分,且在与一组UPB互补子空间上的混合态是一个束缚纠缠态[3].将UPB推广到不可拓展的最大纠缠基(UMEB),即UMEB是一个Cd⊗Cd上由标准正交最大纠缠态构成的集合,该集合含有向量小于d2个,且不存在其他的与其均正交的最大纠缠向量.当d=2时,不存在UMEB.当d=3,4时,存在含6个向量和12个向量的UMEB[4].

其中k,k′=1,2,…,m,则称{B1,B2,…,Bm}为互不偏基(MUBs)[5].MUBs主要用于解决量子态层析和加密协议等问题[6-10],其个数N(d)最多不超过d+1.当d为一个素数幂时,N(d)=d+1;当d为一个非素数幂的合数时,N(d)未知[6].关于N(6)及在C6上如何构造MUBs的研究目前已引起人们广泛关注[11-14].本文先证明两体空间C2⊗C3上Bell基型的UMEB,通过构造C3的一个标准正交基给出两组Bell基型完备的UMEBs,同时保证这两组基是MUBs,并给出两类互不偏的不可拓展的最大纠缠基集合.

1 C2⊗C3中Bell基型的UMEBs

定义1[3]一组态{|φi〉∈Cd⊗Cd′,i=1,2,…,n,n

1)|φi〉(i=1,2,…,n)均为最大纠缠态；

2)〈φi|φj〉=δij；

3)若〈φi|ψ〉=0(i=1,2,…,n),则|ψ〉不能为最大纠缠态.

当d=2,d′=3时,Bell基型的4个态为

(1)

其中{|0〉,|1〉},{|0′〉,|1′〉,|2′〉}分别为C2和C3中的标准正交基.显然式(1)符合定义2,即|φi〉(i=0,1,2,3)均为最大纠缠态,且满足〈φi|φj〉=δij(i,j=0,1,2,3).

下面证明式(1)中Bell基型的4个态满足定义1中的条件3).即若存在一个态|ψ〉,使得〈φi|ψ〉=0(i=0,1,2,3),则|ψ〉一定不是最大纠缠态.

若假设|ψ〉为纠缠态,则|ψ〉可分解为

其中:λ0>0,λ1>0,λ0+λ1=1;

U和V均为酉矩阵.

由〈φ0|ψ〉=0可得

整理得

(2)

同理由〈φi|ψ〉=0(i=1,2,3),可得：

分别整理得：

(3)

(4)

(5)

方程(2)～(5)用矩阵可表示为

综上所述,式(1)为C2⊗C3中一组不完备的四元UMEB.

2 用C2⊗C3的UMEBs构造MUBs

在式(1)中加入两个直积态|φ4〉=|02′〉和|φ5〉=|12′〉,即可得C2⊗C3一组完备的UMEB：

(6)

构造C3的一个标准正交基：

重复使用上述方法可得C2⊗C3的另一组Bell基型完备的UMEB：

(7)

由于

(8)

所以两个完备Bell基型的UMEBs为MUBs.

3 C2⊗C3中两类互不偏的UMEBs

将式(6)和式(7)中的两个直积态分别换为文献[3]中的|φ4〉,|φ5〉和|ψ4〉,|ψ5〉,可得两组完备Bell基型的UMEBs和MUBs,即

(9)

(10)

由Bell基型的4个态(1)为C2⊗C3中一组不完备的四元UMEB可知式(9)和式(10)均为完备Bell基型的UMEBs.通过计算可知式(9)和式(10)也为MUBs.如

对式(9)和式(10)中的直积态表达式进一步推广可得：

(11)

其中α,β均为实数,且满足α2+β2=1.

(12)

式(11)和式(12)均为完备Bell基型的UMEBs,通过计算可知式(11)和式(12)也为MUBs.由于

(13)

所以两类完备Bell基型的UMEBs为MUBs.

4 讨 论

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(责任编辑：王 健)

Bell-Base-TypeUnextendibleMaximallyEntangledBasesandMutuallyUnbiasedBasesinC2⊗C3

YANG Qiang,TAO Yuanhong,NAN Hua,ZHANG Jun

(DepartmentofMathematics,CollegeofScience,YanbianUniversity,Yanji133002,JilinProvince,China)

A complete Bell-base-type unextendible maximally entangled basis inC2⊗C3was proved.Based on a constructed orthonormal basis inC3,another complete Bell-base-type unextendible maximally entangled basis was constructed,which is mutually unbiased with the first one.Finally,two classes of Bell-base-type unextendible maximally entangled bases which are mutually unbiased were presented.

Bell-base-type;maximally entangled state;mutually unbiased basis；unextendible maximally entangled basis

10.13413/j.cnki.jdxblxb.2015.03.37

2014-05-26.

杨 强(1991—),男,汉族,硕士研究生,从事量子力学及应用泛函分析的研究,E-mail：584431092@qq.com.通信作者：张 军(1957—),男,汉族,教授,从事量子力学及应用泛函分析的研究,E-mail：zhangjun@ybu.edu.cn.

国家自然科学基金(批准号：11361065)和吉林省自然科学基金(批准号：201215239).

O413.1

：A

：1671-5489(2015)03-0547-06