导数应用中的化归与转化思想

李文生

(福建省连城一中)

在数学的知识和技能中，蕴含着具有普遍性的数学思想，它是数学的精髓和灵魂，是知识转化为能力的桥梁，是数学知识和方法产生的根本源泉，对数学思想的应用，是数学学习走向更深层次的一个标志，它能指导我们有效地应用数学知识，探寻解题方向.

数学对象的内部或者不同的数学对象之间，往往会以某种形式相互联系，在一定的条件下能够相互转化，针对面临的数学问题，实施或转化问题的条件，或转化问题的结论或转化问题的内在结构，或转化问题的外部表现形式等行动策略去解决有关的数学问题，能促进问题的解决，可以说，数学解题的过程就是不断化归与转化的过程.

在应用导数解决问题的过程中，对于一时难以解决的问题，可运用转化与化归思想经过观察、分析、类比、联想等思维过程，运用恰当的数学方法进行变换，将原问题化归为一类已经能解决或者比较容易解决的问题.而导数综合问题的主要类型有：

(1)不等式的恒成立问题；(2)证明不等式问题；(3)方程的求解问题.

通常，应用化归与转化思想解决导数的综合问题时有一个基本的解题思路，即：将不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题；将证明不等式问题转化为函数的单调性与最值问题；将方程的求解问题转化为函数的零点问题、两个函数图象的交点问题等.

为了完成上述转化，要把握两个关键：(1)针对问题的需要，合理地构造函数，找到问题转化的突破口；(2)通过“再构造、再求导”，实现问题的深度转化.

下面通过具体例题，对上述两个关键进行一些探究.

问题一：怎样合理构造函数

1.先分离参数后再构造函数

例1.已知函数f(x)=lnx，对任意的a∈［-1，0)，若不等式f(x)<在x∈(0，1］上恒成立，求实数b的取值范围.

【分析】这是不等式的恒成立问题.

2.将不等式两边作差后再构造函数

需要补充说明的是：如果先分离参数后对应的函数不便于求解其最值，或者求解其函数最值繁琐时，可采用直接构造函数的方法，也就是将不等式两边作差后再构造函数.

例2.设函数f(x)=ln(x+1)，g(x)=xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数，若f(x)≥ag(x)恒成立，则实数a的取值范围是()

A.(-1，+∞)B.(0，+∞)C.(-∞，0)D.(-∞，-1)

【分析】不等式 f(x)≥ag(x)恒成立，可先构造函数 φ(x)=，再研究函数φ(x)≥0时参数a的取值范围.

①当 a≤1时，φ′(x)≥0(当且仅当 x=0，a=1时等号成立)，则φ(x)在［0，+∞)上单调递增，又 φ(0)=0，即 φ(x)≥0 在［0，+∞)上恒成立.

②当 a>1 时，对 x∈(0，a-1)，有 φ′(x)<0，则 φ(x)在(0，a-1)上单调递减，

∴φ(a-1)<φ(0)＝0 即 a>1 时，存在 x>0，使 φ(x)<0，可知 ln(x+不恒成立.

3.抓住常规基本函数，变形后构造新函数

现两边同时除以ex得由于这时不等式两边的函数都是由常规基本函数组成，因此，可分别构造如下两个函数：时，g′(x)＜0，当时，g′(x)＞0，故 g(x)在单调递减，在单调递增的最小值为同理，可求得 h(x)在(0，+∞)的最大值为

综上，当 x＞0 时，g(x)＞h(x)，即 f(x)＞1

点评：一次函数、二次函数、指对数函数、幂函数、简单的分式根式函数、绝对值函数的图象力求清晰准确，一些综合性的问题基本上是这些函数的组合体，如果适当分解和调配就一定能找到问题解决的突破口，使问题简单化、明确化.

问题二：如何再次构造新函数，实现“二次求导”

在求导的过程中，常常会发现导函数大于0或小于0时对应的自变量取值无法确定，这时可考虑再次构造新函数，从而实现“二次求导”.

例4.(2013年河南开封市四模)已知函数f(x)=ax2-x(a≠0)，g(x)=lnx.

若函数y=f(x)与y=g(x)的图象有两个不同的交点，求实数a的取值范围.

评注:本题通过转化，使求解a的取值范围问题转化为求函数的值域问题，再利用函数的连续性，进而转化为函数的最值问题.在对本题解法的探究中，转化是关键，构造函数是途径，“二次求导”是方法和策略.

综上所述，通过构造函数再利用导数这一研究函数的有力工具，能够使解题思路自然流畅、过程清晰，正是应用化归与转化这一重要数学思想在解题中具有普遍指导意义的有力体现。其中构造函数的方式、方法是实现转化的重要途径，虽是“小构造”但体现了解题的“大智慧”.平时教学中，特别是高考总复习中，应加强化归与转化思想的渗透，强化训练，从而有效地提高学生解题的能力.