对一道模拟试题的思考

周刚伟

（张家口市第一中学）

在高中数学中，我们经常会遇到求取值范围或者求最值（最大值和最小值）的问题，对于这类题目大的方向可以往函数（构造函数然后利用基本初等函数的性质或者导数研究其单调性，根据单调性找范围）或者不等式（基本不等式最重要的应用就是求最值），下面通过一个具体问题来阐述自己的一些想法。

题目：x，y 满足 x2+2xy+4y2=6，求 z=x+4y2的取值范围___。

我首先给出几种该问题的解题方法：

方法一：∵x2+2xy+4y2=6，∴x2+4y2=6-2xy≥2·x·2y，由此可得xy≤1，

∴x2+4y2=6-2xy≥4，所以 x2+4y2∈［4，+∞）。

∴x2+4y2=6-2xy≥4，所以 x2+4y2∈［4，+∞）。

方法三：∵x2+2xy+4y2=6，∴x2+4y2=6-2xy≥-2·x·2y，由此可得xy≥-3；

∴x2+4y2≤12，所以 x2+4y2∈（0，12］。

方法四：∵x2+2xy+4y2=6，∴x2+4y2=6-2xy≥2·x·2y ，（按照x，y的正负讨论）

若 xy≥0，则 xy≤1；若 xy＜0，则 xy≥-3，所以-3≤xy≤1；因此可求得结论 x2+4y2∈［4，12］。

对于方法一、二、三理论知识的使用并没用任何问题，但却只求出了x2+4y2的最大值或者最小值，而对于方法四求出了x2+4y2的取值范围，由此可知在遇到求范围的问题时，采用不等式求解会出现问题，换句话说如果我们使用不等式对等式放缩的度把握不清会导致解不出我们所要求的范围，因此在今后如果涉及求取值范围的问题，我们可以更倾向于利用函数的思想来求解，那下面我们看一下这道题目利用函数思想的解题方法：

方法五：因为已知中涉及变量的平方，而两个变量之间的关系又直接不好体现，基于这两点我们可以联想到三角函数中的平方关系，也就是我们可以采用三角代换的方法来解决这道题目：解：∵x2+2xy+4y2=6，∴（x+y）2+3y2=6，即，因此可以把x，y都通过角θ表示，所以因此，可以求 x2+4y2的范围，因此 x2+4y2=6cos2θ+2sin2θ-4inθcosθ+，故 x2+4y2∈［4，12］。

此种解法的基本理念是我们要求x2+4y2的取值范围，考查函数的思想，我们有两种想法：一是可以利用x表示y（或利用y表示x），由已知形式我们知道这种方法不好操作；二是可以把x，y都表示成第三个变量的形式，再观察已知的形式都存在平方的形式，可以联想到三角代换的思想，从而找到解决题目的突破口（x，y均可以表示成θ的式子），这样的话我们就可以把x2+4y2表示成关于θ的一个函数，进而可以利用三角函数的相关知识，对表达式进行化简整理，直到得到能够求取值范围的形式为止，这样的话我们就可以顺利地解决这个问题。

方法六：另外，我们可以通过观察目标函数的形式找到解题的突破口，z=x+4y2与椭圆的标准方程特别类似，而我们也学习过椭圆的参数方程，可以利用椭圆的参数方程解决这个问题。具体过程为，所以我们有可以将 x，y的关系带入已知的等式中即：z cos2θ+z sin2θ+z sinθcosθ=6，化解整理可以得到，所以可以得到 z∈［4，12］。

通过对该题目的解答我们可以得出：在今后我们如果遇到求取值范围的问题时，经常用函数的思想来解决相关的问题；若遇到求最值（最大值或最小值）的问题，我们可以考虑函数的思想或不等式的思想。除此之外，我们高中阶段经常涉及的求取值范围和最值的方法大体上我们可以向三个方向考虑：一是函数的思想；二是不等式的思想；三是观察需要求的表达式所具有的几何意义，例如，在线性规划中我们会根据式子的特点把我们所要求的表达式对应的几何意义找到，利用几何的方法确定出表达式的取值范围或最值。