浅谈小学数学几何公式的推导策略

徐庆义

（秦皇岛市海港区和美实验学校，河北 秦皇岛066000）

小学数学教学中，许多公式的教学都有一定的推导过程。尤其是几何图形的面积、体积计算公式的推导过程一般都是化未知为已知，化陌生为熟悉，既使学生轻松地获取新知，又培养了学生创新意识和实践能力。

1 引导学生自主探究

《义务教育数学课程标准》指出：数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。帮助学生真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想方法，获得广泛的数学活动经验。“转化”是数学学习和研究的一种重要思想方法，对于几何公式的推导，重在通过渗透转化思想，启发学生设法把所研究的图形根据其特点转化成已经学过的图形，让学生利用已有的知识，自主推导出所探究的公式，切忌由教师直接演示讲给学生。如：教学“梯形的面积”公式推导时，首先在课前让学生准备好一对完全一样的梯形硬纸板，我让学生大胆猜想：“梯形可以转化成我们学过的什么图形，推导出它的面积公式呢？”学生猜想到了可以转化为平行四边形、长方形、三角形等。然后放手让学生自己去尝试，我不作统一的操作要求，学生操作后通过观察就会发现这是一个平行四边形，而且清楚地知道：拼成后的平行四边形的底等于梯形的上底加下底的和，这个平行四边形的高等于梯形的高，每个梯形的面积等于拼成的平行四边形面积的一半，所以，“梯形的面积=（上底+下底）×高÷2”。在平面图形面积公式的推导中，从平行四边形、三角形、到梯形的面积公式的推导都是以化归的思想方法为核心，通过多次孕育、化隐为显，让学生在获得结论的同时，感悟到数学思想方法的意义与作用。在教学平行四边形面积的时候，基本上都有这样几个环节：一是让学生利用手中的平行四边形和剪刀，通过折一折、剪一剪、拼一拼，想办法求出平行四边形的面积。二是学生利用割补的方法，把平行四边形转化成长方形，求出长方形的面积也就求出了平行四边形的面积。找出平行四边形与长方形之间的关系，得出平行四边形的面积=底×高。引导学生思考是怎样求出这个平行四边形的面积的？把平行四边形运用割补的方法把它变成长方形，抓住长方形与平行四边形之间的关系，通过求长方形的面积求出平行四边形的面积。这时化归的思想方法处于隐性阶段，初步的孕育，并没有进行提炼。让学生在一步一步的反思过程中通过观察、比较、感悟到化归这一数学思想方法。在公式推导过程中，要充分给学生“说”的机会，把自己的“操作-转化-推导”的过程叙述出来，发展学生的思维和表达能力。

2 巧用现代技术辅助教学

随着素质教育和课程改革的深入推进，多媒体技术不断地被引入课堂教学之中。比如在图形的周长和面积、体积教学时，利用电脑演示图形的割补、拼接，学生形象、直观地看到拼接后是什么图形，就能较快地找到解题方法。因周长、面积和体积公式推导过程较为抽象，故学生对计算公式的产生很难理解，若借助多媒体教学，设计一个具有动态画面并配上音效的课件，形象地演示出转化的过程，从而引导学生推导出公式。这样诱导学生积极地进行由未知到已知，再由已知到未知的探索，促进思维步步深入的发展，加速知识的内化过程，使学生不仅知其然，而且知其所以然。在小学数学教学中，《课标》安排了“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”、“实践与综合应用”四个领域，其中“空间与图形”在小学数学教学中占有非常重要的位置，而几何图形公式的推导的关键是理解算理，是学生能否正确应用公式进行解决问题的保证，因此让学生理解并体会公式的由来特别重要。但是，由于小学生缺乏空间观念，空间想象力较弱，单纯靠教具和教师的说教学生难以展开正确、合理的想象，从而影响空间观念的形成。如果这时能结合学生的动手操作，借助于学生从生活中获取的大量感性材料，运用现代媒体手段，充分挖掘教材，引导学生充分地利用已学过的基础知识，着眼于图形内在联系进行转化，使学生自己推导各种公式，寻根问底，探究规律，为学生的创造性思维的发展提供了有利的条件。例如，教学“圆的面积计算公式”时，可将书中的圆形，由静态变为动态，用微机先出示一个圆，以其中一条直径为标准，将它分成红蓝色各一半，然后把它平均分成8份，展开拼成一个近似的长方形，再把它平均分成分16份、32份、64份……继续拼成一个新图形。借助微机动态的演示，随着等分份数的增加，就把学生理解中的难点——近似长方形的长由曲线变成直线的过程动态呈现，从而为学生积累了丰富的感知材料，为大胆合理的想象提供了充实的基础。这时教师引导学生观察比较发现：平均分的份数越多，每一份就会越细，拼成的图形就越接近于长方形，并且长方形的长就是圆周长的一半，长方形的宽就是圆的半径，由长方形的面积公式，推出圆的面积公式。如在教学《平移与旋转》这一课，平移距离是本课教学的一个难点，学生常常会认为两个图形中间空了几格，就是平移了几格。教学时我充分给学生提供自主探索与交流的空间，然后利用多媒体特有的动画效果，从点到线再到形，让学生在边看边数的过程中进行平移验证，轻松地解决了教学的难点。最后指导学生在方格纸上画出平移后的图形，学生轻而易举就完成了。这种用微机作为辅助手段的教学过程，不仅让学生知道圆的面积公式的由来，而且培养了学生观察能力、推理能力及逻辑思维能力。

3 正确处理学生的质疑

学生的质疑是开放性、多样性、复杂性的，我们在处理时显得更加困难。但只要我们把学生的质疑当成课堂教学的宝贵资源，认真对待，把它作为一个面向全体学生的课堂资源，使它成为丰富课堂教学的有效资源，成为学生展示学习和思维的过程与成果，就能提高课堂资源的有效性，促进课堂教学的有效性。例如在教学“圆柱的体积”后学生遇到一道求空心管的体积的题目，有学生就问“体积”就是指物体所占空间的大小，那么空心管究竟占不占空间？或者空心管所占空间是哪部分体积呢？怎样计算空心管的体积呢？经过这一问，大家开始思索讨论后，有学生认为：整个外形是圆柱体，中间的空心部分也是圆柱体，所以空心管的体积就是大圆柱的体积减去小圆柱的体积。也有学生认为：空心管内外两个圆柱的高时一样的，因为圆柱的体积=底面积×高，所以可以先求出底面的面积，也就是环形的面积，再乘以高。用学生的这种质疑加上小组讨论这样来处理教学，即培养了学生思维的深刻性与开放性，又能提高教学的有效性。

总之，几何公式的推导应加强知识间的联系，根据图形面积计算之间的内在联系，运用知识的迁移提高学生的学习能力。应体现动手操作、合作学习的学习方式，让学生经历自主探索的过程，采用多种策略，借助多媒体辅助教学，促进学生对几何公式的理解和灵活运用，进而提高课堂教学效率。

［1］简海荣.讲究解题策略.敢于创新突破[J].中国校外教育,2011(1).