倾听概率问题的“弦外之音”

高中阶段的概率问题大都以等可能事件、互斥事件、相互独立事件为主，对于一般事件的概率只要理清事件的结构组成关系即可解决. 但对一些较为隐蔽的事件，一定要倾听概率问题的“弦外之音”，把握问题的本质，才能解决问题. 下面举例说明.

■例1 某人射击一次击中目标的概率为■，假设此人连续两次未击中目标就被终止射击，求此人恰射击5次被终止的概率.

解析：因为“连续两次未击中目标就被终止射击”， 所以“此人恰射击5次被终止”的“弦外之音”是第4次、第5次均未中，第3次击中（否则第4次已被终止），且前两次至少击中1次（否则第2次已被终止）.

设此人第i次击中目标为事件Ai（i=1，2，…，5），则事件“此人恰射击5次被终止”可表示为：（■）A3（■）. 又P（■）=1-■=■，各次射击相互独立，故所求事件的概率为

P（■5）P（■4）P（A3）（1-P（■）P（■））=■·■·■1-■·■=■.

■例2 A，B两同学各有5张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏. 应保证面朝上时A赢一张卡片，否则B赢一张，如果某人赢得所有的卡片，则游戏终止，求投掷硬币的次数不大于7次的概率.

？摇解析：本题的“弦外之音”较为复杂. 显然每掷一次A赢的概率是■，根据游戏规则，至少掷5次才能终止游戏. 下面就掷5次、6次、7次逐一讨论.

（1）若掷5次A赢，终止游戏，则这5次A全赢，概率为■5. 当然B也可以赢，故掷5次终止游戏的概率是2×■5.

（2）若掷6次A赢，显然第6次A赢，而且第5次A也要赢（否则若A第5次输掉一张卡片，第6次又赢回一张，相当于第6次后A的卡片数是第4次掷完后的数，这个数最多是9张，即A不可能赢）；前4次若A全赢，则掷第5次是游戏终止，前4次若A至多赢3次，则掷完6次后，A至多赢4张，这样就产生了矛盾，所以掷6次游戏终止不可能.

（3）若掷7次A赢，终止游戏，弦外之音为第6次、第7次A全赢且前5次A恰赢4次输1次，其概率为：■·■·C45■4■，所以掷7次终止游戏的概率是2·■·■·C■■■4■.

综上（1）（2）（3），投掷硬币的次数不大于7次的概率是2×■5+2·■·■·C■■■4■=■.

引申：以上解析是分析“投掷硬币的次数不大于7次”事件的所有可能，事实上，这个问题可以代数化，设ξ为游戏终止时投掷硬币的次数，正面朝上的次数为m，反面朝上的次数为n，其中m，n，ξ均为不大于7的自然数，由题意知m-n？摇=5，m+n=ξ.

当m=5，n=0或m=0，n=5时ξ=5；当m=6，n=1或m=1，n=6时ξ=7，

所以P（ξ≤7）=P（ξ=5）+P（ξ=7）=2■5+2C■■■7=■.

■例3 某一食品出厂前要有五项指标的检验，如果两项及两项以上不合格就不准出厂. 五项指标的检验是相互独立的，每项指标不合格的概率是0.2，求直到五项指标全部检验完毕，才确定该食品是否可以出厂的概率.

解析：根据能否出厂的要求，“直到五项指标全部检验完毕，才确定该食品是否可以出厂”的“弦外之音”就是第五项指标若合格即可出厂，否则就不能出厂，也就是说前四项指标有且只有一项不合格.（否则若前四项全合格，无论第五项合格与否，五项指标至多有一项不合格，则第四项检验后就可以确定出厂；若前四项中有两项及两项以上不合格，第四项检验后就可以确定不能出厂），故直到五项指标全部检验完毕，才确定该食品是否可以出厂的概率是C■■0.210.83=0.4096.

■例4 如果早上送报纸的时间是7：00—8：00，某人上班出发的时间是7：30—8：30，而且送报纸和上班出发的时间都是随机的，求此人在上班前能看到报纸的概率.

？摇？摇解析：“在上班前能看到报纸”，其“弦外之音”就是送报纸的时刻要早于上班出发的时刻.

故可以设7：00对应第0分钟，送报纸的时刻为第x分钟，上班出发的时刻为第y分钟，则x，y应满足不等式组0≤x≤60，30≤y≤90，x≤y，问题转化为线性规划与几何概型问题，如图1，

■

图1

故所求的概率为？摇？摇？摇？摇

p=■=■=1-■=1-■=■.

由以上例题解析的过程，我们发现“弦外之音”的揭开往往要用到反证法，而且揭开概率问题的“弦外之音”的一般流程是：（以例1说明）endprint