事件与概率

赵银仓

事件与概率是学习概率统计的基础，内容主要包括随机事件的概率、古典概型、几何概型. 高考以选择题或填空题考查几何概型，在解答题中重点考查古典概型的计算，近年来把概率与统计结合命制解答题是高考考查的一个趋势. 此部分知识主要考查对概率的理解、概率模型的应用与计算能力，试题难度为基础题与中等题.

重点难点

重点：了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别；了解两个互斥事件的概率加法公式；理解古典概型及其概率计算公式；了解几何概型的意义及其概率计算公式；能解决简单的实际应用问题.

难点：用古典概型和几何概型解决应用问题，怎样从实际问题中抽象出基本事件，将问题转化为古典概型或几何概型的计算问题.

方法突破

1. 随机事件与随机试验

在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件，如果试验的结果预先无法确定，这种试验就是随机试验.

2. 频率与概率

频率随试验次数而改变，但概率是一个常数，当试验次数越来越多时，频率向概率靠近.

3. 互斥事件与对立事件的区别与联系

互斥事件是不能同时发生的两个事件，而对立事件是要求两个事件不能同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况. 若事件A，B为互斥事件，它们至少有一个发生的事件为A+B，则P（A+B）=P（A）+P（B）；若事件A，B为对立事件，则P（A）=1-P（B）. 互斥事件不一是对立事件，但对立事件一定是互斥事件.

4. 几何概型与古典概型的异同

几何概型与古典概型是经常用到的两种概率模型，二者的共同点是基本事件都是等可能事件；不同点是几何概型的基本事件是无限的，古典概型的基本事件是有限的.

5. 逆向思考

当某事件的概率不易直接求解，但对立事件的概率易求解时，可运用对立事件的概率公式（若事件A，B为对立事件，则P（A）+P（B）=1）求解.

典例精讲

■例1 （2014年高考广东卷）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取7个不同的数，则这7个数的中位数是6的概率为________.

思索 题目给出的10个数中比6小的有6个，比6大的有3个，要使得所选出的7个数的中位数为6，则应该比6小的选3个，比6大的选3个，由此得出事件“7个数的中位数是6”的结果数，应用古典概型公式可得所求概率.

破解 从10个不同数中任取7个不同的数，共有C■■种不同的结果，每个结果都是等可能的. 事件“所选7个数的中位数是6”可从6之前的6个数中取3个，6之后3个数中取3个，所以含有C■■·C■■种不同的结果，因此其概率为P=■=■.

■例2 （2014年高考湖北卷）随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为P1，点数之和大于5的概率记为P2，点数之和为偶数的概率记为P3，则（ ）

A. P1

C. P1

思索 对于“掷两枚质地均匀的骰子”这类问题，通过列表就能直观地看出其全部基本事件，问题中的三个事件“点数之和不超过5”“点数之和大于5”“点数之和为偶数”中所含的基本事件就容易数出，利用古典概型公式即可分别求出它们的概率，再比较大小.

破解

■

依题意，P1=■，P2=1-P1=■，P3=■，所以P1

■例3 （2014年高考福建卷）如图1，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________.

■

图1

思索 这是一个几何概型问题. 利用定积分计算阴影部分的面积，由几何概型的概率公式求出所求概率.

破解 由题意，y=lnx与y=ex关于y=x对称，所以阴影部分的面积为2■（e-ex）dx=2（ex-ex）10=2. 因为边长为e的正方形的面积为e2，所以落到阴影部分的概率为■.

■例4 （2014年高考陕西卷）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：

■

（1）若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；

（2）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率.

思索 由于抽样的随机性，所以样本的数字特征可以代表总体的数字特征的估计值. 在本题中，用样本中的某事件的频率代表总体中该事件的概率估计值. 互斥事件的和事件的概率等于各事件概率的和.

破解 （1）设A表示事件“赔付金额为3000元”，B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率可得P（A）=■=0.15，P（B）=■=0.12. 由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3000元和4000元，所以其概率为P（A）+P（B）=0.15+0.12=0.27.

（2）设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，得样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000=100（辆），而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120=24（辆），所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为■=0.24. 由频率估计概率得P（C）=0.24.

■例5 （2014年高考四川卷）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同. 随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.

（1）求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率；

（2）求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率.

思索 共有三张卡片，随机有放回地抽取3次，则每次都有三种选择，将所有结果一一列举出来，共有27种不同的结果，每一种结果都是等可能的，所以所求两个概率问题都为古典概型. （1）列举出所有事件后，就能数出事件“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”中所包含的基本事件的个数，即得其概率；（2）因为事件“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”中包含的基本事件的数目较多，因此先求其对立事件“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”中所含的基本事件的数目，由此得到其概率，再由“事件与其对立事件的概率和为1”这一关系，求得所求的结果.

破解 （1）由题意，（a，b，c）所有的可能为：（1，1，1），（1，1，2），（1，1，3），（1，2，1），（1，2，2），（1，2，3），（1，3，1），（1，3，2），（1，3，3），（2，1，1），（2，1，2），（2，1，3），（2，2，1），（2，2，2），（2，2，3），（2，3，1），（2，3，2），（2，3，3），（3，1，1），（3，1，2），（3，1，3），（3，2，1），（3，2，2），（3，2，3），（3，3，1），（3，3，2），（3，3，3），共27种. 设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A，则事件A包括（1，1，2），（1，2，3），（2，1，3），共3种，所以P（A）=■=■. 因此，“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为■.

（2）设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件■包括（1，1，1），（2，2，2），（3，3，3），共3种. 所以P（B）=1-P（■）=1-■=■. 因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为■.

■例6 （2014年高考全国卷） 设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5， 0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立.

（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；

（2）实验室计划购买k台设备供甲、乙、丙、丁使用. 若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值.

思索 对于较复杂的概率问题，首先要对字母表示简单事件，然后用事件间的关系来表示所求事件，再用有关概率公式进行计算. 这样分析问题的思路会清晰明了.

破解 记Ai表示事件“同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i=0，1，2”，B表示事件“甲需使用设备”，C表示事件“丁需使用设备”，D表示事件“同一工作日至少3人需使用设备”，E表示事件“同一工作日4人需使用设备”，F表示事件“同一工作日需使用设备的人数大于k”.

（1）因为P（B）=0.6，P（C）=0.4，P（Ai）=Ci2×0.52，i=0，1，2，所以P（D）=P（A1·B·C+A2·B+A2·■·C）=P（A1·B·C）+P（A2·B）+P（A2·■·C）=P（A1）P（B）P（C）+P（A2）P（B）+P（A2）P（■）P（C）=0.31.

（2）由（1）知，若k=2，则P（F）=0.31>0.1，P（E）=P（B·C·A2）=P（B）P（C）P（A■）=0.06. 若k=3，则P（F）=0.06<0.1. 所以k的最小值为3.

变式练习

1. （2014年高考新课标卷Ⅰ）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（ ）

A. ■？摇？摇？摇？摇B. ■？摇？摇 C. ■？摇？摇？摇D. ■

2. （2014年高考陕西卷）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（ ）

A. ■？摇？摇？摇B. ■？摇？摇？摇 C. ■？摇？摇？摇D. ■

3. （2014年高考辽宁卷）正方形的四个顶点A（-1，-1），B（1，-1），C（1，1），D（-1，1）分别在抛物线y=-x2和y=x2上，如图2所示. 若将—个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是________.

■

图2

4. （2014年高考湖北卷）由不等式x≤0，y≥0，y-x-2≤0确定的平面区域记为Ω1，由不等式x+y≤1，x+y≥-2确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为（ ）

A. ■ B. ■ C. ■ D. ■

5. （2014年高考山东卷）海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如下表所示. 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.

■

（1）求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；

（2）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.

6. （2014年高考天津卷）某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：

■

现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）.

（1）用表中字母列举出所有可能的结果；

（2）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率.

参考答案

1. D 2. C

3. ■ 4. ■

5. （1）A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别是1，3，2.

（2）设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2，则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个. 每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的. 记事件D为“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个. 所以P（D）=■，即这2件商品来自相同地区的概率为■.

6. （1）从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为：{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15种.

（2）选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为：{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6种. 因此，事件M发生的概率P（M）=■=■. ■endprint