趣谈一个几何模型的应用

（甘肃省临泽县第四中学734200）

趣谈一个几何模型的应用

李希英（甘肃省临泽县第四中学734200）

纵观近几年的中考试题及各类竞赛试题，“最佳点”“最短距离”等问题已成为当前命题的一个新的亮点。笔者结合近几年的数学实践对北师大版教材中的一课后习题进行剖析与论述。

一、几何模型的引入及分析

（一）几何模型的引入

北师大版教材七年级下册第228页“问题解决”如下：如图1所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在何处，才能使从A、B到它的距离之和最短？

作法：1.作出点A关于直线l对称点A′；

2.连接A′B，交l于点P，点P就是奶站的位置。

（二）几何模型分析

1.特点：已知一定直线同旁有两定点，可以从此直线上确定一点到两定点的距离之和最短。

2.理论基础：轴对称的性质、三角形三边关系（两点之间，线段最短。）

3.基本性质。观察此图形（图2），不难发现其中的多种关系，姑且归纳为“1、2、3”。

1——一对全等三角形：Rt△AOP≌Rt△A′OP；

2——两组相等线段：OA=OA′，AP=A′P；

3——三个相等的角：∠1=∠2=∠3。

二、几何模型的应用

（一）基本运用

由基本图形可以看出，点P为一动点，可以从直线L上任取，但“最佳位置”却只有一个，当“最佳位置”确定下来以后，问题便化动为静。因此，在解决一些问题时，往往需要先确定“最佳位置”即作图后，再进行推导与计算，下面举几例加以说明。

1.与三角形相关。把此模型与三角形，特别是特殊三角形（如直角三角形、等腰三角形）的性质相结合解决问题。

例1：如图3，一牧童在小河南4千米的A处牧马，河水向正东方向流去而他正处于他的小屋B西8千米、北7千米处。他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他完成这件事所走的最短距离是多少千米？

分析：（1）首先解定保证牧童所走的路程最短的饮马点。作点A关于小河的对称点A′，连接A′B，交小河于点O，点O即为饮马点。

（2）弄清楚应如何恰当使用题目中的数量进行计算。

连接AO，则牧童所走的路程为AO+BO= A′O+OB=A′B。

在Rt△A′BC中，A′C=4+4+7=15（千米），BC=8（千米），则A′B=

所以，牧童完成这件事所走的最短距离为17千米。

点评：本题紧扣原型，赋予了实际情境与新意，同时在计算时用到了重要定理——勾股定理，真可谓独具匠心。

2.与四边形相关。巧妙地把菱形、矩形、正方形的轴对称性作为本模型的有效载体。

例2：如图4，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值是多少？

分析：根据菱形的轴对称性可知，点B关于AC的对称点为点D，连接DE交AC于点F（图5），则点F使BF+EF的值最小，最小值为DE的长，在Rt△ADE中，DE=AEtan60°=3×=3。

点评：本题恰当地运用了菱形的轴对称性。

3.与圆相关。

小结：通过以上几例不难看出，当模型与常见的平面图形相结合时，通常以计算题的形式来呈现。在解决此类问题时，往往先确定动点的“最佳位置”，然后借助直角三角形的重要性质——勾股定理来解决。

4.与平面直角坐标系相关。

例4：设想用电脑模拟台球游戏，约定：

（1）每个球或球袋都视为一个点，若不遇障碍各球均沿直线前进；

（2）A球击中B球，意味着B球在A球前进的路线上，且B球被撞击后沿着A球原来的方向前进；

（3）球撞击桌边后的反射角等于入射角。

如图6，设桌面上只剩下白球A和6号球B，希望A球撞击桌边上点C后反弹再击中球B，请给出一个算法（在电脑程序中把解决问题的方法称为算法），告知电脑怎样找到点C，并求出点C的坐标。

分析：假设A球撞击桌边OP后反弹再击中B球，确定点C的位置是比较简单的，方法同前面所述，关键是如何求出点C的坐标。点A（40，60）关于x轴的对称点A′的坐标为（40，-60），直线A′B与x轴的交点即是点C，故可设直线A′B的解析式为y=kx+b，则

解得k=3，b=-180。所以y=3x-180。令y=0，即3x-180=0，x=60。所以点C的坐标为（60，0）。

点评：此题构思精巧，综合考查了轴对称的性质，平面直角坐标系中点的坐标的特征、一次函数的知识。表面看来，题目无从下手，问题的突破口就在于如何实现与“基本图形”的沟通。

（二）跨学科应用

此模型不仅可以用来解决许多数学问题，也可以解决其他学科中的相关问题，如物理学中的光线反射问题。例如，如图7，一光源从点A发出光线，经平面镜L反射后过点B，请确定入射点O、入射光线、反射光线的位置。这一问题就需要借助于模型中的“角相等”这一性质来准确作图。

（三）拓展应用

例5：如图8，已知牧马营地在M处，每天牧马人要赶着马群先到小河L的河边饮水，再到草地m吃草，然后回到营地M。试设计出最短的放牧路线。

分析：分别作出点M关于小河L及草地边沿M的对称点P和Q，连接PQ，分别交小河及草地边沿于点D、E，放牧路线应为M-D-E-M。

以上是笔者对数学实践中遇到的一道课后习题的研究与探讨。尤其是在中考复习中，我们应该深入挖掘教材，善于处理典型题目，以点带面，真正起到举一反三、事半功倍的效果，从面大大提高复习效率。

（责编 赵建荣）