创意平板折叠桌的设计及优化模型

汪亚楠 朱家明 郭明珠 徐霞明

【摘要】针对创意平板折叠桌的设计，综合使用立体几何、平面剖析、力学平衡、参数化设计、模糊综合分析、线性规划以及类比等知识，分别构建描述折叠桌折叠过程的动态描述模型、最优化设计及软件系统开发和参数化设计等模型，运用Matlab和Lingo软件编程，研究了以下问题：描述此折叠桌的动态变化过程，给出此折叠桌的设计加工参数；综合考虑产品稳固性、加工方便性、用材节省性，确定最优设计加工参数。

【关键词】平板折叠桌 动态过程描述 设计满意度 参数化设计 Matlab

折叠桌作为当今时代一大时尚元素，在设计时除了做到美观外，更要求设计的产品稳固性好、加工方便、用材最少。因此其参数化设计及优化设计显得尤为重要。对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，因其设计的形状、尺寸等不同，很多公司计划开发折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。

一、数据的获取及假设

本文数据来源于2014年全国大学生数学建模竞赛B题。为便于解决问题，提出如下假设：（1）设计所用材质均相同且木板厚度均为3厘米；（2）不考虑木条间摩擦因素的影响，即各桌腿间切割时不留空隙；（3）折叠桌设计时只考虑产品稳固性、加工方便性、用材节省性；（4）桌面受力均匀；（5）加工时平板材料无损耗且人工操作时能进行正确判断实现操作。

二、折叠桌的动态变化过程及设计加工参数

（一）建模思路

为说明桌子折叠过程的空间格局变化，首先借助桌脚边缘曲线、桌腿长及开槽长度来描述该折叠桌的形状及大小，研究折叠桌的折叠原理，确定参数及变量间的联系，其次建立三维空间坐标系，选取折叠前后桌脚各点及桌面中心为切入点分析其空间坐标变化规律；最后运用画图软件画出其动态变化示意图，并结合坐标变化描述折叠桌的动态变化过程。

（二）建模准备

由折叠桌的折叠视频知：桌子折叠前后桌子均是完全对称的。展开时是120cm×50cm×3cm的长方形平板（见图2）。折叠后桌子（见图3）的桌面为木板中心位置的最大内切圆；折叠后桌子着地的支撑点只有最外面四个桌脚；两侧桌腿间的小木条均由钢筋连系固定，钢筋位置固定在四条腿的中心位置；桌腿开槽以保证折叠时钢筋的滑动，槽的上端点为达到平板状态时的槽口，下端点是在支撑时钢筋滑到的位置，两端间距离即开槽的长度。折叠桌形状和尺寸的确定取决于木条长度、桌高、圆形桌面直径、平板尺寸、钢筋位置、开槽长度及桌角边缘曲线（见图3中红线）。

图2 桌子展开时的形状

图3 桌子折叠后时的形状

图4 圆形桌面的俯视图

（三）模型的建立

由于该折叠桌具有对称性，在此选举折叠桌的四分之一部位进行研究。同理，其他部分可由对称性求出。

1.相关参数的确定及量化。为了便于分析木条长度，首先将桌子平面化得其俯视图，如图3。圆周四分之一共有10根木条。设木条长li（i=1，2，…，10），在桌面上建立平面直角坐标系，圆周经过每个凹槽的中点，则圆周的方程为x2+y2=252，将桌面上半部分看成由10根小木条拼凑而成，设小木条长度为mi。通过在方程中计算出这10根小木条的长度，即可得到折叠桌木条的长度li，小木条的长度为■，则第i根木条长■。

假设在折叠的每一时刻桌子都是固定的，即钢筋抵住滑槽的下端。通过投影，得第i根木条与第一根木条在木条前表面平行的平面上的投影图，如图5。同时，将第根木条分成三部分表示，如图6。

图5 木条的滑槽平面 图6 木条分割图

其中θ表示第一根木条与地面形成的夹角；ai表示第i根木条从顶部到滑槽的顶端的长度；bi表示滑槽长度；ci表示木条从滑槽的下端到木条底端的长度（其中■），由木板铺平时可知■，则■）。由三角函数关系式得：

■ （1）

由桌子折叠原理可知，第i根木条和第1根与桌面连接部分在平面上投影的长度为这两根木条的长度差，记为di，则di=l1-li，i=2，3，…，10，由图4可知：

■ （2）

由（1）（2）两式计算得：

■

在模型的分析中，已经得出的各个阶段折叠桌的变化主要表现为各点坐标的变化，其形状由各参数决定，因此只需通过比较计算出的各时间内的点坐标（xi，yi，zi），即可大致描述各点整体变化趋势；通过比较即可描述折叠桌的动态折叠过程。

以桌子下表面中心为原点，垂直于平板的长的直线为x轴，平行于平板的长的直线为y轴，垂直于平板平面的直线为z轴建立空间直角坐标系。

设桌脚的边缘点为Q，则Qi在空间直角坐标系中的坐标（xi，yi，zi）为：

■

（四）模型的求解

1.量化描述：借助折叠过程中桌脚边缘线变化进行动态描述。为了更具体的描述桌子，用桌子折叠过程中桌子净高为指标来表示桌子不同的折叠阶段：h=0，h=10，h=20，h=30，h=40，h=50，其中h以桌子净高（单位：cm）为准，分别为的这五个折叠阶段进行对比分析。根据所建立的坐标系，可确定各具体点坐标，首先用Excel软件根据上述公式计算得不同折叠阶段各桌脚边缘点的坐标[1]，运用Matlab编程得其边缘曲线变化如图7所示：

图7 不同折叠阶段桌脚边缘线

如图7，桌脚边缘线由最初的直线（图中蓝色线所示，此时木板平铺为桌子折叠前的状态）从左到右逐渐变为最右端的红色曲线，曲线弧度逐渐变大。折叠过程中，桌脚边缘点先向下移动，后在钢筋的作用下，中间木条的边缘点又向上收缩，直到外侧两桌脚着底，钢筋卡在木条能活动区间（滑槽）的最低端，中间木条点离地面最远。

2.图形描述。分析折叠桌折叠变化过程，根据求出的点坐标，利用几何绘图软件SAI画出它在不同折叠阶段的示意图，如图8：

图8 桌子折叠过程中动态变化的示意图

三、最优设计加工参数

（一）建模思路

折叠桌的设计应做到稳固性好、加工方便、用材最少，为了对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径使桌子达到设计要求，首先结合上述研究结果，分别分析影响产品的稳固性、加工方便性和用材节省性的因素，研究出这三个设计指标与设计参数间的相互关系；再运用引入满意度概念来衡量不同设计方案下各性能指标的优劣；其次，运用模糊综合评价的方法，确定各指标的权重并得出综合平均设计满意度函数；最后通过Lingo软件求出函数最值，给出最优的设计加工参数。

（二）模型的准备

桌子的设计应考虑产品稳固性、加工方便性、用材节省性三大指标，桌子设计方案的好坏评定标准极为三者的综合评价值。具体综合关系如图9所示：

图9 不同设计方案的层次结构图

为了更好的研究最优的设计方案，引入满意度概念，参考隶属度设计综合平均满意度指标。记不同设计方案的平均满意度为：■，wi为某一指标权重，ui为某一指标满意度。

（三）模型的建立

1.稳固性分析。从力学角度看，影响结构稳定的因素主要有结构形状、重心和支撑面。

从结构形状讨论[5]

该折叠桌主要靠四只脚支撑，结构对称。一般来说的摩擦力越大代表其较稳固，桌子不易散架。此结构中，为了尽可能减少摩擦力对整个结构受力的影响，桌脚木条与水平面的夹角应该有所限制。夹角又与腿长与桌高、滑槽有关，桌子能靠桌腿支撑，桌腿又靠钢筋固定。再结合杠杆原理知，其受力平衡主要取决力矩大小，决定力矩的主要因素为钢筋的固定位置。故可用钢筋的固定位置来衡量桌子的稳定性。

从重心位置讨论：

当桌高确定时，桌子重心也确定，故不通过重心分析其稳固性。

从支撑面积讨论：

一般来说，结构体与地面形成的支撑面积越大，这里用系数表示支撑面积对稳固性的作用大小。由图7知，钢筋固定位置越靠近地面，桌子四只脚与地面所形成的支撑面积越大。

设k1为钢板的位置参数（0

定义稳定性满意度为：■（其中■）

其中，α为稳固性系数，为计算方便本题将其取值为0.01。l1为最外侧桌腿长，k为平板宽度。

2.加工方便性分析。影响折叠桌加工方便性的主要是木条上滑槽的加工，故选取开槽总长度作为衡量加工方便性的主要指标。记开槽总长度为Σbi，由于滑槽总长度越长，加工起来就越困难，加工方便性能满意度越低。故将加工方便性满意度定义为■。

3.材料节省性分析。由于节省性指标的要求，在资源的限制下，折叠桌在设计时，在使材料的使用尽可能达到最大化、所用木材越少越好，即应使平板尺寸越小越好。为了便于研究我们定义材料节省性满意度公式为：材料节省性满意度■。

4.综合评价。衡量不同设计参数所对应的设计方案的优劣[3]可用综合平均满意度变量来衡量。

平均满意度为：■

（四）模型的求解

1.对比不同稳固状态下的桌子设计满意度。现实生活中，缺少实用性的桌子只是摆设，即桌子稳固性最为重要，故把力学性能分析放在首要地位。为使加工方便和用材最少，会在稳固性达到实用性要求的前提下减少使用的木板尺寸和选择最优加工参数。

设最外侧木条即桌腿的长为e1，则平板的长为2（e1+9.9261），钢筋在最外侧木条上到木条顶端的距离为e2分别研究■时的情况，第i根木条开槽长度bi。因此目标函数为■，

假定木条宽度均为为2.5cm时，该折叠桌每边有80/2.5=36根木条（只需考虑18根木条），由上述结论知，第根木条的长度为

■

则■

可得：■

显然任意两根木条滑槽长度是同增同减的，因此只需考虑一根木条的滑槽长度，故只需研究滑槽最长的木条，设e3=b16并对其化简得：

■

当e3取得极小值时，Σbi也取得极小值，故目标函数为minS=e1+e3，此时加工方便性与材料节省性均达到最优。

2.通过线性规划[6]求函数最值，确立最优参数。通过模糊判别矩阵得三大指标的权重向量为w=（0.6，0.2，0.2）。

目标函数为：■

由于两函数可进行转化，故只要保证其中一个函数求得极值即可。本题中选取S=e1+Σbi函数为目标函数，求其最小值：将桌高h=70cm、木板宽度（或桌面直径）均为80cm等已知数据代入，通过变动钢筋固定位置，求解钢板不同位置下，再调用Lingo求出函数最优值。求得当■时，支撑面积■=7560.394cm2，即钢板固定在木条中间位置时，综合平均设计指标满意度最大u=0.5235。故当给定桌高70cm，桌面直径80cm时，折叠桌的最优的设计参数分别为：平板长158.8460cm，槽口总长为375.8017cm，且钢筋固定位置在外侧桌腿中心位置。

四、总结

本文建立的最优设计加工参数模型充分考虑了各种影响因素，确保模型较高的可靠性；又创新定义了相对方便度、稳固性参数、平均设计满意度，使本来抽象的概念得以量化，确保了最优设计方案的评估与求解；运用Matlab绘出折叠桌折叠的过程图，使折叠桌动态变化一目了然。同时本文就折叠桌设计及优化问题所建立的模型能够可以推广到各种零件设计，应用范围广。

参考文献

[1]2014年高教杯全国大学生数学建模竞赛B题[EB/OL].[2014-09-11].http：//www.mcm.edu.cn/problem/2014/cumcm2014pro blems.

[2]高惠璇.应用多元统计分析[M].北京：北京大学出版社，2005.

[3]李柏年，吴礼斌.Matlab数据分析法[M].北京：机械工业出版社，2012.

[4]姜启源，谢金星，叶俊.数学建模[M].高等教育出版社，2003.

[5]王峰.从古建筑结构受力分析探讨其变形和稳定性[J].山西建筑，2006，32（19）：54-54.

[6]陈务军，董石鳞，付功义.不稳定空间展开折叠桁架结构稳定过程分析[J].工程力学，2000，17（5）：5-6.

[7]洪文，冯守平，吴本中.利用 LINGO建立最优化模型[M].长春：吉林大学出版社，2005.

[8]吴淑芳，王宗彦，秦慧斌.机械产品参数化设计技术研究与应用[A].物流工程论文集[C]，2010.

基金项目：国家自然科学基金资助项目（11301001）；大学生科研创新基金项目（项目编号： XSKY1563）。

作者简介：汪亚楠（1993-），女，安徽安庆人，研究方向：统计学；朱家明（1973-），男，安徽泗县人，副教授，硕士，安徽财经大学数学建模实验室主任，研究方向：应用数学与数学建模。