基于半实值Capon的高效波达方向估计算法

闫锋刚王 军*沈 毅金 铭

①(哈尔滨工业大学(威海)信息与电气工程学院 威海 264209)

②(哈尔滨工业大学航天学院 哈尔滨 150001)

基于半实值Capon的高效波达方向估计算法

闫锋刚①王 军*①沈 毅②金 铭①

①(哈尔滨工业大学(威海)信息与电气工程学院 威海 264209)

②(哈尔滨工业大学航天学院 哈尔滨 150001)

子空间类超分辨波达方向(DOA)估计算法需预先估计信号个数，当信号个数估计错误时，其性能会严重下降。该文提出一种新颖的半实值Capon(SRV-Capon)DOA估计算法。该算法继承了Capon算法无需信号个数估计的优点并克服了现存实值算法仅适用于中心对称阵列(CSA)的缺点。相比于Capon算法，SRV-Capon仅利用阵列接收数据协方差矩阵的实部求逆构建空间谱函数，实现了谱值计算的半实值化并将谱搜索的范围压缩至原来的一半，从而至少降低约75%的计算量。理论分析和仿真实验证明了该算法的有效性。

波达方向估计；信号个数；半实值Capon；任意阵列结构

1 引言

以多重信号分类(MUltiple SIgnal Classification, MUSIC)[1]和旋转不变子空间(Estimate Signal Parameters via Rotational Invariance Technique, ESPRIT)[2]为代表的子空间类算法是信号波达方向(Direction-Of-Arrival, DOA)估计的最重要方法之一。这类算法根据已知信号个数，利用信号子空间和噪声子空间之间的正交性估计DOA[3−5]。由于信号子空间和噪声子空间在无噪模型下是完全正交的，因此子空间类算法理论上可对无限靠近的两个目标实现分辨。

虽然子空间类算法具有优良超分辨估计性能，但它们几乎均需已知信号个数作为先验信息。通常，信号个数可通过信息论准则[6]、功率估计[7]、声矢量传感器法[8]、杰克利弗重采样[9]等技术估计得到。但是，上述算法受噪声模型、快拍数及信噪比(Signalto-Noise Ratio, SNR)的影响，会出现信号个数估计错误的现象，进而使得子空间类算法的估计性能严重下降，甚至无法正常工作[10]。

为了避免信号个数估计，Capon提出了最小方差谱估计算法(Minimum Variance Distortionless Response, MVDR)[11]。该算法需要对阵列输出协方差矩阵(Array Output Covariance Matrix, AOCM)求逆，同时以复数运算计算空间谱值，计算量异常庞大。虽然近年来产生了实值酉变换Capon[12]、类多重信号分类(MUSIC-Like)[13]等各种无需信号个数估计的新算法，但这些算法或需假定特殊的中心对称阵(Centro-Symmetrical Array, CSA)结构，或仍以复数运算估计DOA，难以在阵列结构的普适性和算法的高效性之间取得兼容[14]。

本文在分析Capon算法的基础上，提出了一种适用于任意阵列结构的半实值Capon(Semi-Real-Valued Capon, SRV-Capon)算法。相比于经典Capon算法，SRV-Capon只需对AOCM实部(Real part of AOCM, R-AOCM)求逆，并且缩小了一半的空间谱搜索范围，因而至少降低了约75%的计算量。理论分析和仿真实验表明：SRV-Capon算法不需要信号个数估计，同时在小快拍数下表现出优于Capon算法的估计性能。

2 信号模型及相关算法

2.1 信号模型

设xoy平面上由M个阵元组成的线阵各通道独立且附加加性高斯白噪声(AGWN)，设空间有K个信号，定义DOA为信号来向与阵列法线的夹角θ，则阵列一次快拍接收数据可表示为[1-5]

式中，x(t)∈ℂM×1是接收数据向量，s(t)∈ℂK×1是信号向量，n(t)∈ℂM×1是AGWN向量，A(θ)∈ℂM×K是导向矢量矩阵且导向矢量a(θk)∈ℂM×1定义为

其中，ω≜2πsinθk/λ,xi(i=1,2,…,M)是第i个阵元坐标，λ是中心波长，j≜(−1)1/2。ACOM定义为

式中，ξk,k∈[1,K]和分别为R的K个大特征值及AGWN的功率，uk和vk分别为ξk和对应的特征矢量，Λs和Λn是分别以ξk,k∈[1,K]和为对角元素的对角矩阵。由矩阵的列向量分别张成的子空间span(S)和span(G)分别称为信号子空间和噪声子空间。实际中，受AGWN的影响，可利用L快拍接收数据得到估计值：

2.2 MUSIC算法

根据子空间正交性，MUSIC算法构造空间谱：

并在[−π/2,π/2]搜索使得fMUSIC(θ)出现极大值的K个入射角，它们即为信号DOA。MUSIC算法的最大优点是分辨率高，能适用于任意阵列结构，但其需要先验已知信号K，当K估计错误时，MUSIC算法的性能会严重下降，甚至无法工作[10]。

2.3 Capon算法

为了避免信号个数估计，Capon在波束形成的框架下，建议在DOA方向保持阵列增益不变，通过抑制噪声和干扰信号使得阵列输出功率最小化[11]，从而提出了如式(8)的优化问题：

利用Lagrange乘子法易求得式(8)的最优权矢量为wopt= R−1a(θ)/aH(θ)R−1a(θ)，进而可得

的Capon空间谱。搜索[−π/2,π/2]，使fCapon(θ)出现极大值的角θ即为DOA。

3 SRV-Capon算法

由上述分析可见：作为超分辨算法的典型代表，MUSIC 需估计信源数目并对AOCM进行EVD，而且该算法对快拍数的要求远超Capon[15]。Capon直接利用逆AOCM估计DOA，有效解决了子空间类算法因信号个数估计而引起的性能下降问题，但该算法不具有超分辨性能，其对靠近目标的分辨能力较差。另外，MUSIC和Capon均需在角度空间进行遍历搜索，因而计算量均很大。为了结合二者的优点，文献[15]提出了一种m-Capon 算法，但其包含AOCM的高阶幂运算，计算量相比于Capon显著增加。

由于a(θ)∈ℂM×1,G ∈ℂM×(M−K)且R∈ℂM×M，故MUSIC算法和Capon算法中的所有运算都是基于复数操作完成的。众所周知，一次复值运算包含了4次实值运算，因此实值运算相比于复值运算可节省约75%的计算量。如果能够利用实值或半实值运算代替Capon算法中的复值运算，则能明显提高算法的计算效率，这正是SRV-Capon算法的出发点。

因为信号子空间和噪声子空间互补正交，所以有SsSH+GGH=IM, SHSs= IK,GHGs=IM−K以及SHG=0。由此，容易验证：

其中，对角矩阵BSNR定义为

其中SNRk≜ξk/为第k,(k∈[1,K])个辐射源的信噪比。高信噪比(SNR≫1)下，BSNR≈0，从而有

由式(7)，式(9)及式(12)可知Capon算法和MUSIC算法存在关系：

现在，考虑R-AOCM逆。利用Woodbury公式[16]：

可得

由式(12)和式(15)可知在高信噪比下，有

其中

式(17)表明：在高信噪比下，矩阵Re−1(R)的每一列均是矩阵GGH列的线性组合。注意到GGH是子空间span(G)的投影矩阵，因而必定有

注意到式(15)中R和*R顺序可交换，因此，

其中，R−*≜(R*)−1。

由式(12)和式(19)知在高信噪比下，亦有

式(20)表明：在高信噪比下，矩阵Re-1(R)的每一列均是矩阵G*GT所有列的线性组合。同样注意到矩阵G*GT是子空间span(G*)的投影矩阵，因而必定有

据式(20)可定义如下所示的SRV-Capon空间谱：

联立式(18)和式(21)，可得

由于a(θ)∈ℂM×1而Re−1(R)∈ℝM×M，故SRVCapon空间谱值的计算包含了复数和实数的混合运算，本文不妨将这种混合运算称为半实值运算。根据子空间正交性及式(22)不难理解：在信号波达方向θk,k∈[1,K]处有fSRV-Capon(θk)=∞。另一方面，由于Re−1(R)∈ℝM×M，故在波达角θ,k∈[1,K]的对

k称方向−θk,k∈[1,K]处亦有fSRV-Capon(θk)=∞。因此，SRV-Capon空间谱能够在波达角θk,k∈[1,K]及其对称角−θk,k∈[1,K]处同时产生谱峰。SRVCapon的这种谱峰对称性使我们可将空间谱峰搜索范围从整个空间谱压缩至半谱范围内，从而提高算法的计算效率。由于SRV-Capon在左半谱或右半谱内会分别产生K个空间谱峰，因此SRV-Capon同样无需进行信号个数估计。

SRV-Capon空间谱的上述特性使得本文可以借助高效半实值运算快速估计信号DOA，这就是本文提出的SRV-Capon算法，其实施步骤如表1所示。

由表1中的实施步骤可见：SRV-Capon算法先以fSRV-Capon(θ)谱峰对称性压缩了一半的搜索范围，接着通过半谱搜索得到可能的DOA或DOA镜像。由于fCapon(θ)仅在真实DOA方位才会出现谱峰，因而SRV-Capon算法最后以Capon排除虚拟DOA，从而解决了估计模糊问题。对于本身镜像的辐射源，不难理解SRV-Capon算法也不存在估计模糊问题。

表1 SRV-Capon算法

4 计算量分析

设Q为[−π/2,π/2]角度范围的搜索点数，表2给出了经典MUSIC算法、Capon算法、m-Capon算法[15]以及本文提出的SRV-Capon算法的计算量对比情况。其中，算法计算量均以算法所包含的实数乘法次数表示。单元4×O(M2K)给出了计算复矩阵R的逆或EVD所包含的实数乘法次数[16]。SRVCapon算法由于需同时求解R及Re(R)的逆，故其包含5×O(M2K)的计算量单元。

表2 不同算法的计算量(实数乘法次数)对比

通常空间谱搜索点数远大于阵元数，即Q≫M[5,14]。由表2不但看出：本文提出的SRV-Capon算法引入了半实值运算，同时只需对[−π/2,0]或[0,π/2]的空间谱范围进行搜索，其相比于经典Capon算法约降低了75%的计算量。

5 仿真试验

为了说明本文所提算法的有效性和可行性，以计算机仿真验证SRV-Capon 的功能和性能并与Capon及MUSIC作对比分析。其中，角度估计最小均方误差(Root Mean Square Error, RMSE)中，引入了非限制克拉-美罗下界(Unconditional Cramër-Rao Lower Bound, CRLB)[17]。选取各向半波长均匀线阵，各试验结果均为500次蒙特卡罗的统计平均。对于信号入射角θ估计值θˆ的RMSE定义为

仿真1 MUSIC, Capon及SRV-Capon空间谱对比

为了验证SRV-Capon算法基本功能的正确性，图1给出了经典MUSIC, Capon以及SRV-Capon的空间谱对比情况。试验选取位于θ1=−20°及θ2= 40°的两个非相干信号源，阵列及仿真参数如图标所示。

由图1可见：经典MUSIC和Capon仅在真实信号入射方向(−20°和40°)处产生了对应谱峰，但SRV-Capon不但在−20°和40°而且在它们的镜像对称方向(20°及−40°)同时产生了谱峰。因此，只需搜索SRV-Capon的左(或右)半谱即可快速定位谱峰位置，然后经过相关“表1 SRV-Capon算法步骤3”相关峰值检验处理即可最终得到真实波达角估计。

仿真2 算法在高SNR和大快拍数下的性能对比

考察3种算法在高SNR和大快拍数下的性能，如图2和图3所示。其中，DOA为θ1=30°及θ2= 50°。

由图2和图3可见：在高信噪比和大快拍数下，本文提出的SRV-Capon算法估计性能略差于经典Capon算法，但相差不大。随着信噪比和快拍数增大，3种算法的RMSE均急剧下降并趋向于CRLB。另一方面，由图3可见：在快拍数较小时，SRVCapon表现出了略优于经典Capon算法的估计性能。

仿真3 算法在低SNR和小快拍数下的性能对比

为了进一步确认图3反映出的SRV-Capon在小快拍数下估计性能优于经典Capon的现象，选取低SNR和小快拍数环境考察3种算法的性能，结果如图4～图6所示。实验选取的信号DOA为θ1=30°及θ2=50°。

由图4可见：当SNR＜0 dB时，SRV-Capon估计性能略差于经典Capon，但当SNR＞0 dB时，新算法表现出与经典Capon算法几乎一致的估计性能。由图5可见：在小快拍数下，本文提出的算法确实略优于经典Capon，这与图2结果一致。由图6可见：在小快拍L=20下，经典Capon出现了伪峰，这进一步证实了本文算法在小快拍数下相比于Capon的优越性能。小快拍数下信号高度相关，导致协方差阵秩亏且其相比于协方差实部秩亏更为严重，这可能是SRV-Capon在小快拍下性能优于Capon的原因所在。

仿真4 算法计算效率对比

考察3种算法在不同阵元数下完成信号DOA估计的计算效率。选取位于θ1=20°及θ2=40°的两个辐射源，空间谱搜索间隔为0.013°。以Intel(R) Core(TM) Duo T5870处理器、2.0 GHz CPU, 1 GB内存PC平台运行3种算法的Matlab程序，记录仿真时间随阵元数变化曲线，结果如图7所示。

图1 空间谱对比，M=10, SNR=10 dB, L=100

图2 θ2RMSE随高信噪比 变化情况，M=8, L=100

图3 θ1RMSE随大快拍变化 情况，M=8, SNR=10 dB

图4 θ1RMSE随低信噪比变化情况，M=10, L=50

图5 θ2RMSE随小快拍数变 化情况，M=10, SNR=5 dB

图6 小快拍下5次空间谱叠加， M=18, SNR=5 dB, L=20

由图7可见：本文提出的SRV-Capon算法计算效率最高，其消耗的仿真时间约为经典Capon算法的25%。随着阵元数增加，SRV-Capon算法相比于Capon算法计算效率越发明显。

图7 仿真时间与阵元数关系，SNR=5 dB, L=100

6 结束语

本文将实值运算和阵列结构的任意性折中，提出了一种基于半实值运算的高效率SRV-Capon算法。新算法不需要预先估计信号个数，同时相比于经典Capon算法约降低了75%的计算量，从而为实时DOA估计提供了一定的理论参考。

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闫锋刚： 男，1982 年生，博士，讲师，研究方向为阵列信号处理、遥感图像处理、统计性能及时频域分析等.

王 军： 男，1976 年生，博士生，讲师，研究方向为压缩感知雷达信号处理、极化信号处理等.

沈 毅： 男，1965 年生，博士，教授，博士生导师，研究方向为智能检测与控制、数字超声成像以及信号处理等.

金 铭： 男，1968 年生，博士，教授，博士生导师，研究方向为雷达对抗、空间谱估计、极化敏感阵列信号处理等.

Efficient Direction-of-arrival Estimation Based on Semi-real-valued Capon

Yan Feng-gang①Wang Jun①Shen Yi②Jin Ming①

①(School of Information and Electrical Engineering, Harbin Institute of Technology at Weihai, Weihai 264209, China)

②(School of Astronautics, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China)

Subspace based Direction-Of-Arrival (DOA) estimators require usually the number of sources to be known in advance. If the number of sources is incorrectly estimated, the performance of those methods is able to deteriorate significantly. This paper presents a novel efficient Semi-Real-Valued Capon (SRV-Capon) algorithm for DOA estimation with unknown number of signals. Compared with state-of-the-art real-valued techniques suitable for only Centro-Symmetrical Arrays (CSAs), the proposed method can be used with arbitrary arrays. Unlike conventional Capon with heavy complex computations, SRV-Capon exploits only the real part of the array output covariance matrix, leading to a real-valued spectral search over only half of the total angular field-of-view, which hence reduces about 75% computational complexity. Theoretical analysis and simulations demonstrate the effectiveness of the proposed approach.

Direction-Of-Arrival (DOA) estimation; Signal number; Semi-Real-Valued Capon (SRV-Capon); Arbitrary array configuration

TN911.7

： A

：1009-5896(2015)04-0811-06

10.11999/JEIT141034

2014-08-01收到，2015-01-20改回

山东省自然科学基金(ZR2014FQ003)和哈尔滨工业大学(威海)校科学研究基金(HIT(WH)201411)资助课题

*通信作者：王军 hitwangjun@126.com