利用变步长Runge-Kutta法分析换流变压器油纸绝缘结构瞬态电场

岳啸鸣，范辉，李慧奇，刘刚

（1.河北省电力建设调整试验所，河北石家庄 050021；2.华北电力大学河北省输变电设备安全防御重点试验室，河北保定 071003）

利用变步长Runge-Kutta法
分析换流变压器油纸绝缘结构瞬态电场

岳啸鸣1，范辉1，李慧奇2，刘刚2

（1.河北省电力建设调整试验所，河北石家庄 050021；2.华北电力大学河北省输变电设备安全防御重点试验室，河北保定 071003）

换流变压器极性反转瞬态电场仿真往往采用定步长方法，为了保证计算精度，往往采用较小的时间步长，计算量较大．为了有效地降低换流变压器极性反转瞬态电场仿真分析时的计算代价，根据各时步的局部截断误差，提出采用变步长显式Runge-Kutta法分析极性反转瞬态电场．并用所提方法对换流变压器阀侧绕组典型模型在极性反转电压下的瞬态电场进行了分析，计算结果表明本文提出的方法可以有效地降低计算代价，能够用于换流变压器极性反转瞬态电场的分析计算．

换流变压器；极性反转；瞬态电场；Runge-Kutta法；变步长

换流变压器和绝缘套管是直流输电工程中的重要设备，它们安全运行直接关系到系统的稳定．在直流输电系统需要潮流反转时，送段换流变压器的阀侧绕组电压极性将在短时间内迅速改变，称为极性反转．在极性反转过程中，换流变压器阀侧绕组端部油纸复合绝缘中会出现局部高场强，从而使换流变压器出现绝缘故障，严重影响了系统的安全运行．因此研究极性反转过程中的电场分布成为换流变压器研制开发的关键[1-2]．

极性反转电场分析往往采用2种方法，即静态法和瞬态法．采用静态法时，假设外施电压瞬间完成极性反转，此时由于外加电压的容性电场跃变，而空间电荷及其电场保持不变，因此可用阻性电场叠加两倍负容性电场得到极性反转的瞬间电场，这是一种理想的极端情况，但由于设备的限制，电压极性反转往往需要一定时间才能完成（往往需要1～2m in），因此需要考虑短时反转过程中电荷的重新分布及其反转完成时刻电场分布的影响．

现有文献在用瞬态法分析极性反转电场时，几乎都采用定步长方式[3-8]．一般说来，步长越小，截断误差就越小．但是，随着步长的缩小，瞬态过程分析所需的时步数就会增加．时步数的增加，不但引起计算量和数据存储量的增大，而且可能导致舍入误差的严重积累．因此在实际计算时，需要选择适当的步长，在满足精度要求的前提下，尽可能地减小计算步数．一种有效的措施就是在计算过程中，根据外施激励变化的不均匀性，在计算过程中自动地调整步长，即自适应算法．文献[9]尝试根据外施电压的特点分段定义步长，这种人为设定步长的方式虽然减少了计算量，但与通常根据（截断）误差实现自动变步长的自适应算法明显不同．

文献[10]根据各时步的局部截断误差，采用C-N（Crank-Nilcoson）法实现自动变步长的算法，并在分析极性反转电压特点的基础上，利用后向欧拉法，成功的解决了极性反转电压导数不连续点的时步振荡情况，但该算法在每次极性反转完成后的步长增长缓慢，计算的时步数较多，计算代价仍较大．

文献[11]在分析±500 kV换流变压器极性反转过程时，假设极性反转瞬间，并采用定步长四阶显式Runge-Kutta法分析了线性、非线性及非线性各向异性条件下的极性反转电场．由于采用定步长测量，使得具有较高精度的四阶Runge-Kutta法的计算效率较低．

在保证计算精度的前提下，本文根据文献[10]的思路，即根据当前时步的截断误差决定下一时步的时步长，拟采用变步长显式Runge-Kutta法采取变步长策略，以达到减少计算时步数，降低计算代价的目的．

为了简化分析，本文暂不考虑油纸电导率同电场强度的非线性和纸板电导率各向异性的影响，给出根据局部截断误差得到自适应变步长的显式Runge-Kutta法．并用变步长显式Runge-Kutta法对换流变压器阀侧绕组典型模型的极性反转反转过程进行了计算，对计算结果进行了简要分析．

1 有限元状态方程

换流变压器油纸绝缘结构中的瞬态电场为电准静态场，油纸中的电位满足如下初边值问题[10]

表1 定步长布彻表Tab.1 Fixed time-step's Butcher table

2 变步长显式Runge-Kutta法

在下面的仿真分析中，采用Merson法，其相应的布彻表的参数如表3所示．

表2 变步长布彻表Tab.2 Varible time-step's Butcher table

3 极性反转电压

完整的极性反转试验需要进行2次反转过程，电压波形如图1示，具体变化过程如下：1）在30 s内由0电位降到U0，保持90m in；2）在一定时间tPR内由U0上升到+U0，并保持90m in；3）在一定时间tPR内由+U0下降到U0，并保持45min；4）在30 s内均匀变化到0．

IEC推荐2次极性反转过程不超过2m in，一般取1m in．本文计算时取为tPR=1min．

在用变步长显式Runge-Kutta法计算图1电压波形下的极性反转电场时，每个时间步计算均需要判断当前时刻tn累加下一步长hn+1后，是否会超过极性反转的开始时刻（tb）和完成时刻（te）．假设tn

表3 Merson法的布彻表Tab.3 Merson's Butcher table

则步长hn+1保留，否则hn+1值由下式决定

这样处理后就能保证不会因为步长过大而丢失极性反转开始时刻tb或完成时刻te的电场信息．

图1 极性反转电压波形Fig.1 PR voltage's curve

为了更好的反映极性反转过程中的电场变化情况，往往需要知道更多时刻的电位（电场强度）值．可以给各时步的步长设定一个上限值hmax，当各下一时步hn+1的步长超过hmax时，hn+1就取hmax．

4 换流变压器阀侧绕组典型模型

本文采用文献[10]换流变压器阀侧绕组典型模型进行分析，为了便于本文分析，图2重新给出了模型，图中单位为mm．

对图2模型采用三角形剖分，共剖分得到1 142个三角形单元，699个节点．单元电位采用线性插值，仿真分析时，极性反转电压幅值U0=1 000 V．采用上文变步长显式Runge-Kutta法计算了整个极性反转过程．

5 计算结果及分析

图2 换流变压器阀侧绕组典型模型Fig.2 TypicalM odelof the converter transformer’valvew inding

本文首先只用式(13)约束下一时刻的时步hn+1，此时hmax不设上限，在此假设下整个极性反转瞬态过程只需要59个时步，这远远小于定步长算法（步长为30 s时需456个时间步），计算量也远小于文献[10]的修正变步长C-N法．极性反转过程中A点（图2所示）电位和各时间步步长hn+1随时间的变化曲线如图3所示．

图3 hmax=∞时的计算结果及各时步的步长Fig.3 Computational resultsand time-step ofeach time instantat hmax=∞

结合图1和图3可以看出，当外施电压保持恒定时，时步长总体上趋于增加，理论上在各次反转开始时刻应该达到最大值．但图3表明，反转开始时刻的步长迅速减小，这是由于此时步长不是由此时刻的阶段误差决定，而是由式(14)，式(15)决定．

由图3可以看出，整个极性反转过程中各时步的最大步长接近400 s．为了更好的反应极性反转过程中的电场变化情况，往往需要知道更多时刻的电位（电场强度）值．本文在hmax取不同值时重新分析了上述极性反转过程，并将计算结果列于表3中，同时在图4～6中给出了A点的电位和时步同时间的变化曲线．

从表3可知，当限制hmax时，整个极性反转过程的计算量将有所增加，但表3中的A点最大电位值却相差很小，最大差值仅为0.000 2 V．

从上文分析可看出，即使限制了hmax值，例如hmax=120 s的时步数为121，而采用当定步长Runge-Kutta法（或C-N法）的步长取20 s、30 s和60 s时，其极性反转瞬态过程分别需要计算684、256和228个时步，限制后的计算量仍将比定步长算法小．对于相同的极性反转瞬态过程，文献[8]虽然采用修正变步长法，但整个瞬态过程仍需要394个时步，而文献[9]根据极性反转电压的变化认为设定时步长的方法计算量更大，因此本文的自适应变步长显式Runge-Kutta方法可以用来快速分析换流变压器极性反转瞬态电场问题．

表3 hmax取不同值时的计算结果Tab.3 Computational results of different hmax

图4 hmax=240 s时的计算结果及各时步的步长Fig.4 Computational resultsand time-stepsof each time instantat hmax=240 s

图5 hmax=180 s时的计算结果及各时步的步长Fig.5 Computational resultsand time-stepsof each time instantat hmax=180 s

图6 hmax=120 s时的计算结果及各时步的步长Fig.6 Computational resultsand time-steps of each time instantat hmax=120 s

6 结论

本文针对换流变压器极性反转外施电压的特点，提出了基于显式Runge-Kutta法根据局部截断误差实现自适应变步长的算法，并将算法应用到换流变压器极性反转电场分析中，实际换流变压器阀侧绕组典型模型计算结果表明，采用自适应变步长显式Runge-Kutta算法后，可以大大减少计算时步数，从而能够降低计算量和内存需求．

[1]赵婉君．高压直流输电工程技术[M]．北京：中国电力出版社，2004．

[2]宓传龙．超高压换流变压器和平波电抗器绝缘结构简述[J]．高压电器，2003，25（1）：7-15．

[3]文闿成．复合介质、中暂态电场的数值解[J]．高电压技术，1989，15（4）：2-7．

[4]Wen K C，Zhou YB，Fu J，etal．A calculationmethod and some featuresof transient field underpolarity reversalvoltage in HVDC insulation[J]．IEEE Transactions on PowerDelivery，1993，8（1）：223-230．

[5]张艳丽，谢德馨．换流变压器内部暂态电场分析[J]．沈阳工业大学学报，2001，23（6）：467-470．

[6]李岩，李晓辉，唐聪，等．换流变压器阀侧绕组端部瞬态电场分析[J]．高电压技术，2012，38（11）：2797-2804．

[7]刘刚，李琳，李文平，等．换流变压器极性反转非线性电场分析[J]．高电压技术，2012，38（2）：451-456．

[8]刘刚，李琳，纪锋，等．基于节点电荷电位有限元法的油纸绝缘结构极性反转电场分析[J]．中国电机工程学报，2011，31（25）：132-138．

[9]王冰，王清璞，孙优良．换流变压器阀侧绕组端部极性反转瞬态电场的计算与分析[J]．变压器，2007，44（6）：11-15，22．

[10]刘刚，李琳，纪锋．利用自适应时间步长有限元法计算换流变压器油纸绝缘结构瞬态电场[J]．华北电力大学学报（自然科学版），2011，38（1）：17-20，106．

[11]李琳，纪锋，李文平，等．换流变压器极性反转试验的数值模拟[J]．中国电机工程学报，2011，31（18）：107-112．

[12]HairerE，NorsettSP，WannerG．Solving ordinary differentialequations I[M]．北京：科学出版社，2006．

[责任编辑 代俊秋]

Variable runge-kuttaalgorithm for the computationof transientelectric field in oil-paper insulation construction of HVDC transformer

YUEXiaom ing1，FAN Hui1，LIHuiqi2，LIU Gang2

(1.HebeiElectric PowerCommissioning Institute,Hebei Shijiazhuang 050021,China;2.HebeiProvincialKey Laboratory of Power Transmission EquipmentSecurity Defense,North China Electric PowerUniversity,Hebei Baoding 071003,China)

The fixed-time stepmethod isoften used to solve the transientelectric field problem of the converter transformerunderpolarity reversalvoltage,whichoften choosessmallersteps in order to ensureaccuracy and causes largeamount of calculation.In order to effectively reduce the com putationalcost,avariablestep-sizeexplicitRunge-Kuttamethod decided by the local truncation errorateach timestep isproposed to analyze the transientelectric field underpolarity reversal voltage.With the proposedmethod,a typicalmodelof the converter transformervalvewinding isanalyzed.The results show that the proposed algorithm isable to effectively reduce the computationalcostand can beused to analyze the transientelectric field of theconverter transformerunder polarity reversalvoltage．

converter transformer；polarity reversal；transientelectric field；Runge-Kuttaalgorithm；variable time stepsize

TM 15

A

1007-2373(2015)02-0005-06

10.14081/j.cnki.hgdxb.2015.02.002

2014-12-10

国家自然科学基金（51407075）

岳啸鸣（1980-），男（汉族），高级工程师．

数字出版日期：2015-04-16数字出版网址：http://www.cnki.net/kcms/detail/13.1208.T.20150416.1100.010.htm l