高等数学课程应用性模式教学探究

董银丽 张俊丽

【摘要】本文分析了高等数学课程内容及教学在以应用型为教育目标的前提下存在的问题，随后从注重数学思想及其实际应用价值、课程内容配置的应用性与启发性、培养采用多种方式阐述问题的能力等方面，利用一些实际案例给出建议。

【关键词】应用型 数学思想 阐述问题的能力

应用型本科教育对于满足中国经济社会发展，对高层次应用型人才需要以及推进中国高等教育大众化进程起到了积极的促进作用。进入20世纪80年代以后，国际高教界逐渐形成了一股新的潮流，那就是普遍重视实践教学、强化应用型人才培养。因为人们已越来越清醒的认识到，实践教学是培养学生实践能力和创新能力的重要环节，也是提高学生社会职业素养和就业竞争力的重要途径。在应用型本科教育的形势下，高等数学课程应用性模式教学研究显得尤为重要。

在以应用型为目标的本科教育理念下，对高等数学课程的批评大多是缺少应用性。随着时代的发展，教学目标除了传统的目标，没有建立新形势下的教育目标；应采用什么样的教学方式、课程内容以及评价方式，提升学生的逻辑推理和问题解决能力，并对此能力的提升作出综合评价等。本文就下面提出的课程问题进行探讨。

一、高等数学课程存在的问题

1、在讲授数学课程时存在的问题是过于重视方法的训练，注重法则和过程的介绍，忽略数学本质及其实际价值。

2、教学中的许多例题、习题，多样性较差，具有实际应用背景的问题就更少，导致学生不会运用所学的知识对一些实际问题进行分析。评价的方法也存在问题，设计的考试题型仅仅是选择题、简答题，这样学生便会采取“死记硬背”的方法应付考试，学生的分析技能并未获得实质性的进步。

3、阐述问题的方式有四种，包括几何图形、数值规律、解析表达式和语言叙述。在传统的数学教学中，对于这四种方式并不是给予同等的重视对于解析表达式给予更多的重视，像数值规律、语言叙述很少涉及。

4、在教学中注重强调逻辑推理，既注重数字游戏和应用公式如何计算，很少结合不同的数学软件，例如绘图仪等，来帮助学生建立数学思维。

总之，传统的数学课程模式过于重视方法的训练而忽视了其他品格的养成；教学方式还是采用填鸭式讲授法，考试只注重事实性知识的记忆，缺少批判性思维的考查；课程内容设置使学生感受不到有助于提高分析问题和批判性思考能力的发展，学生在很大程度上不会使用数理推理的方式解决实际问题。

二、高等数学课程应用性教学的几点建议

1、注重数学思想及其实际应用价值

数学思想是数学课程教学的精髓。数学课程固然应该教会学生许多必要的结论，但绝不仅仅以教会定理、公式和计算程序、解题方法为目标，更重要的是让学生在学习这些结论的过程中获得数学思维。

例如，在讲解定积分时，曲边梯形的面积通过分割，近似代换，求和，取极限的积分思想而得到，学生也可以通过微积分基本公式求解定积分，介绍的应用大多是几何方面的应用，很少涉及其实际应用价值的介绍。

类似地，像利用积分的思想求函数 在区间 上的平均值，二元函数的的等值线图在天气图，地形图，某地区农作物受当地總降雨量和平均气温影响的产量等方面的应用。通过数学思想在实际应用中的案例介绍，有助于激发和培养学生将数学思想创新性的应用于自己的工作和生活中。

2、课程内容配置的应用性与启发性

在教学中，应借鉴国外优秀数学教材的内容编排，提升课程内容的应用性和启发性。力求做到：对重要概念都尽可能介绍实际背景；重要结果都尽可能地举出应用实例。设计与课程目标紧密相关的平时作业和测验；及时给予学生反馈，以帮助学生了解自己的学习进展以及还需要做什么。

习题的配置应具有多样性，给学生所布置的作业，不能只是通过寻找“已经做好的”例题来完成。以文献 5 为例 该教材除了配置大量的练习题外 还配置了四种类型的小课题 它们是应用课题（ applied project），探索课题 （Discovery project），实验课题 （Laboratory project）和写作课题（Writing project）。

例如，在研究导数应用，求函数在某一区间的拐点时，给出了求解及判断方法，我们还应进一步让学生了解其应用性。即研究类似下面的问题：

图2表明某个种群向极限人口L增长，人口达到L/2的点为图像的拐点，拐点说明人口的什么特征？

通过这样问题的学习，学生不但知道如何求解拐点，而且理解拐点给函数带来怎样的变化。

下面气压与海拔的例子，不但具有探索性，也具有实验课的特性，同时通过完成这种问题，也有助于培养学生的自我表达能力。

例如：海平面的气压是30英寸汞柱，在海拔 的高度上，气压P（单位：英寸汞柱）为

（a）画P关于h的草图

（b）求在h=0的切线

（c）旅游者们的一条经验法则是海拔高度每上升1000ft，气压下降1英寸汞柱，请写出这条经验法则所确定的气压公式。

（d）（b）和（c）的答案之间有何联系，请说明经验法则为什么有效。

（e）经验法则所做的预测是过大还是过小，为什么？

3、注重培养采用多种方式阐述问题的能力

学生掌握算术、数据、计算机、建模、统计学、概率、推理等方面的内容同时，并强调要将其运用于社会实践。若以此为目标，则在教学中，老师需在概念、模型和技巧间做出合理的安排，尽可能的培养学生在面对不同问题时，采用适当的方式阐述问题。

函数的表现形式有四种方式，在介绍一些概念、对一些公式进行解读及对一些实际问题进行描述时，学会运用四种方式相结合的形式来描述，通过这几种方式相结合，我们可以从不同的角度对概念、实际问题有清楚的认知。

学生可能会产生这样的问题，数学模型所用的公式是如何产生的？事实上，我们所使用的大部分公式是利用数据拟合得到的。

例如：随着对稀缺资源的关注，对人口的准确预测变得越来越重要。美国每10年通过人口普查记录人口，下表给出1790～2000年人口普查数据：

问题：根据统计数据分析美国人口的增长情况，并给出其增长的函数表达式。

问题的求解应该完成以下几方面的工作：（1）将表中数据利用散点图描绘出来，可初步观察出人口的增长变化情况，并进一步结合数据说明；

（2）根据人口增长散点图，选用合适的数学函数模型，并利用最小二乘拟合可得到其函数模型中的参数值；

（3）分析拟合的误差。

在上面问题中，确定美国人口合适的数学函数模型时，人口增长的散点图表明，在1860年以前，人口增长速度较快，图形为上凹形状，在1860年以后，人口增长速度变慢，图形为下凹形状，人口由于受到社会、自然等多种因素的影响，会趋于一个较稳定的数量，这些特征要求所选的函数模型也应具有这些特性，具有这种特性的人口学函数是Logistic函数。

在教学不能只停留在给出数学函数公式，应更加注重强调公式的性质、图形特征，分析其参数对图形的影响，对于特殊点处的含义给出解释。通过教会学生将阐述问题的四种方式结合应用，可以使学生学会用文字说明想法，用图形解释答案。

在信息化时代，数学教学的信息化也不容忽视，利用不同的数学软件工具，例如，例如绘图仪等，帮助学生建立数学思维，提升对问题的认识。

要大力推进数学应用型教学的改革，包括教学理念、教学内容、教学方法、考试方法和学生评价方法的改革。否则，我们的教学就始终停留在灌输知识的层面，而很难形成学生的能力和素质。只有使学生获得对微积分知识的真实理解，才能创造性地使用微积分。

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[5] Deborah Hughes-Hallett，Andrew M.Gleason等，朱来义等译，实用微积分， 第3版，出版地：人民邮电出版社，2010年8月：p252-255