用计算软件Xppauto辅助大学物理教学

唐 军 叶世旺 黄志敏 郭治天

（中国矿业大学理学院，江苏 徐州 221116）

近年来，飞速发展的新媒体技术广泛渗透到我们生活的方方面面，这其中就包含教育教学领域.今天的课堂与20年前的课堂存在巨大的差异，这种差异体现在多种新媒体技术的使用.课件、教学网站、公共电邮、多媒体影像、动画等新媒体技术的产物广泛地出现在课堂以及其他学习场所.而更重要的是教师或学生已经不把这些新媒体使用看成是时髦或先进手段的使用，而只是自然而随性的行为.比如，计算机软件在教学中的使用已经不局限于特定的教育软件，各种不同类型的软件包括图形软件、可视编程软件，甚至科学计算软件也可以在特定的需求下辅助教学过程[1-6].《普通物理学》或《大学物理》是高校各专业的一门重要基础课.物理学科包含很多抽象的概念和复杂的数学公式[7]，一些形象的图像、视频媒体有助于学生来理解抽象的物理概念[8-10].因此，计算机辅助教学在物理教学中占有很重要的地位[11-13].本文结合自身在高校教学科研中的实践，介绍了如何将一款可免费获取的科学计算软件应用于大学物理的教学中.

1 Xppauto软件

Xppauto计算软件是一款数值解微分方程的科学计算软件，应用它可以采用不同的差分方法（包括欧拉法、龙格库塔法等）来解不同类型的非线性系统，包括积分方程、微分方程、延迟微分方程、随机微分方程等[6].该软件还能对自治系统进行分岔分析、相图分析等.与其他流行计算软件，比如Mathmatica、Matlab相比较，该软件具有如下特点：

（1）该软件可完全免费获取，该软件由匹兹堡大学数学系免费提供.当下，一些流行的计算软件往往非常昂贵，与之相比Xppauto降低了从事非线性系统分析研究的门槛.该软件下载网址为：http：／／www.math.pitt.edu／～bard／xpp／xpp.html.网站中包含了该软件的英文使用手册，以及一些示例.因为该软件是非营利性软件，至今未有中文版使用手册.

（2）该软件不需要复杂的编程.对于给定的模型，只要把相关的方程以直观的方式写成一个ODE格式的文件，就可以应用该软件进行分析.

（3）与商业软件相比，Xppauto并不具有友好的界面.这一点对于长期从事非线性物理研究的科技工作者来说并不是问题.通过长期的科研实践，科研工作者已经对该软件非常熟悉.

（4）该软件支持直观的动态改变参数.在动态改变参数后，系统会实时对相关图像进行重画，这能从一定程度上凸显动画的效果，使演示过程直观形象.

2 应用Xppauto软件辅助物理教学

2.1 阻尼振动和受迫振动

在阻尼振动的教学中，需要认识和理解过阻尼、欠阻尼、临界阻尼3种不同的阻尼情况；在受迫振动中理解其稳定状态和共振行为.振动方程可以写成[5]

其中，x为振动位移；δ为阻尼因子；ω0为系统固有频率；F0为外部周期力的幅度；ωd为驱动频率.这里我们令y＝dx／dt，上述方程能改写成如下一阶方程组

该方程组写成ODE文件为

其中，第一、二行是两个微分方程；第三行是规定各个参数的初始值；第四、五行给方程变量赋初值；第六行规定数值计算的总时间、计算时间步长、画图横纵轴的范围，以及总数据量，第七行规定画图的横纵轴.

如图1所示，可以看出，Xppauto的主窗口是x的时间演化窗口，下面提供3个参数条用来进行实时的参数调节，参数调节只需用鼠标拉动相应状态条即可.在图1中，F0＝0表示无外部驱动力，delta＝0表示无阻尼，此时系统应该以固有频率作谐振动.

为了演示阻尼振动，我们仍然让参数条1中的驱动力幅值等于零，然后通过拉动参数条3改变阻尼因子.如图2（a）所示，δ＝0.06小于系统固有频率ω0＝0.8，为欠阻尼振荡；图2（b）中δ＝ω0为临界阻尼；相应的图2（c）为过阻尼情况.更重要是的，我们可以通过拉动参数条3连续改变阻尼，来演示从欠阻尼到过阻尼的连续变化过程.因为Xppauto中参数发生变化后，系统会实时重画振动图.

进一步为了演示受迫振动以及共振，我们通过参数条1将F0设置为1，并将δ设置为欠阻尼情况.通过数条2的拉动改变策动力频率ωd.从图3（a）到（c）让ωd逐渐增加，可以看出当ωd接近ω0时振幅达到了最大，这是典型的振幅共振行为.

2.2 相互垂直谐振动合成

两个相互垂直谐振动合成后，质点的运动轨迹形成李萨如图形.两振动的方程写成[5]

图1 Xppauto的窗口示意图

图2 不同阻尼的演示

图3 受迫振动及共振的演示

其中，A1，ω1，φ1，A2，ω2，φ2分别是两谐振动的振幅、频率、初相.相应的ODE文件为

因为Xppauto是解微分方程的，所以ODE文件中必须要有微分方程，而本应用没有微分方程，所以在程序第一行定义了一个虚拟方程.李萨如图形的形成主要是ω1、ω2成一个整数倍关系.这里设定ω2＝1，通过改变ω1形成不同的李萨如图形.如图4所示，是不同倍频的李萨如图形.同样，在拉动参数条改变参数ω1的过程中能看到李萨如图形的实时变换.

图4 不同倍频的李萨如图形

2.3 单缝衍射和光栅衍射

光的夫琅禾费衍射教学是大学物理中的难点，同时也是重点内容.在讨论光强分布时过于抽象，如果能辅以动态可变的图形曲线，有助于学生形象认识单缝衍射、光栅衍射图样的影响因素以及它们之间的关系.理论上，光栅衍射的光强分布应满足[5]

其中，上式中

上式中，θ为衍射角，a为缝宽，d为光栅常数，λ为入射波长，N为缝数.ODE文件为

我们借用时间变量t作为衍射角θ，而为了反映衍射角在零值附近的对称性，令θ＝t-0.5，因此，所演示的θ介于-0.5和0.5之间.另外这里之所以选择dt为小数点后面多位，是为了避开计算到t＝0时使得I发散.

首先，演示单缝衍射，我们必须将缝数固定在1.如图5，通过参数条1将缝数固定设为1，然后通过参数条2来改变缝宽a，比较图5中的子图会发现，条纹宽度会随着缝宽的增加而减小.

图5 单缝衍射光强分布

图6 双缝干涉光强分布

然后我们要演示双缝干涉实验，缝数N必须为2，此时将单缝的宽度设置的足够小（a＝0.004），以减小单缝衍射对双缝干涉的调制作用.如图5所示，通过拉动参数条3改变缝间距演示条纹间距随着缝间距的增加而减小.

最后，我们来演示光栅衍射.可以通过3个参数条来改变缝数N，缝宽a，以及缝间距d，以此来反映这些参数对于光栅衍射的影响.作为示例，我们在图6中演示了对于给定的a和d，缝数N对于光栅衍射的影响.从中可以明显看出光栅衍射中单缝衍射对多缝干涉的调制作用，以及随着N的增加主极大之间的次级大数目的变化，如图7所示.

图7 不同缝数N的光栅衍射的光强分布

3 结语

作者结合自身从事大学物理教学的实践经验，介绍了如何应用一款免费计算软件Xppauto辅助教学，并介绍了几个教学示例.高校教师除了教学外，往往都有繁重的科研任务，将自己在科研中长期使用并且非常熟悉的软件或方法用于教学是一种省时省力的好尝试.Xppauto虽然只是一款免费的软件，它却在演示图形变化方面具有优势.主要体现在它不仅编程简单，而且可以鼠标拉动来调节多个参数，参数值调整后能进行实时重画.这些优势使得它在刻画某一因素对系统影响时具有非常直观的特点.对于高校教师来说，将科研和教学工作整合起来是必要的，本文的工作是从一个侧面的经验.

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