例析年龄问题的独特求法

程大位是我国明代著名的数学家，他少年时博览群书，成年后在长江中下游一带经商.一天，程大位从外地经商归来，路过大王庄，来到“迎宾客栈”，准备在此歇脚.只见客栈左边是一深宅大院，朱门红墙，人来人往，车马络绎不绝，又见八九个小伙子进进出出，其长相都十分相似.一会儿，一位老公公被人簇拥而出.程大位心中纳闷：这是怎么回事？进到店内一问，原来这位王老公公正逢六十大寿，亲朋好友前来祝贺，前呼后拥的是他的九个儿子。这九个儿子有的已是而立之年，有的还是稚童.程大位想深问老公公九个儿子的年龄，店主却不作答，只说：“我给你念首诗，你若能立即回答出诗中的问题，我就让你住店；若是答不上来，你就另投别处吧.”说罢，店主在柜台后迈着方步吟咏起来：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来争三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.”此诗的大意是：一位老人有九个儿子，这九个儿子从长子到幼子一个比一个大3岁，年龄的总和是207，问九个儿子的年龄各是多少？这道题岂能难倒一代算术大师，程大位脱口而出老人九个儿子的年龄.你知道他是如何算出来的吗？

解：设小儿x岁，依题意得，x+（x+3）+（x+6）+（x+9）+（x+12）+（x+15）+（x+18）+（x+21）+（x+24）=207. 解得x=11，即得出九儿的岁数.

“年龄问题”是一类历史悠久且十分有趣的数学问题，其主要特点是：随着时间的变化，年龄在增长，但是年龄差始终不变.年龄问题往往综合了“和差”“差倍”等问题，其解法有多种，下面介绍几种独特的求解方法.

【例题解析】

1.利用图表方程解年龄问题

甲、乙、丙三人在2008年的年龄（周岁）之和为60，2010年甲的年龄是丙的两倍，2011年乙的年龄是丙的两倍，问甲是哪一年出生的？（ ）

A.1988 B.1986

C.1984 D.1982

解析：题中人物之间的关系比较复杂，我们最好用列方程结合列表法解题。我们设2010年丙的年龄是x，那么2010年甲的年龄就是2x，2011年丙的年龄就是x+1，根据题意，2011年乙的年龄就是2（x+1）.

题中所说“三人在2008年的年龄之和为60”，那么到2011年就是过了3年，每个人都应该长了3岁，3个人就应该长了9岁，也就是2011年三个人的年龄之和应该是69岁.即（2x+1）+2（x+1）+x+1=69，解得x=13.题目问甲是哪一年出生的，我们分析算出2010年或2011年甲的年龄就可知道.如2010年甲的年龄是2×13=26岁，那么2010-26=1984就是甲出生的年份，即C选项为正确选项.

2.利用平行四边形解年龄问题

我现在的岁数是弟弟当年岁数的2倍，但我当年的岁数却与弟弟现在的岁数一样.我们两人现在的年龄之和是63岁.请问，我和弟弟现在各有多少岁？

解析：如图1所示，BE是两人年龄之差.当年，我的年龄是AE时，弟弟的年龄是CG，显然，BE=DG，而BDGE是一个平行四边形.

由题意可知，CG=AB，所以AF=CG=AB；由于BE=DG，EF=DG，所以BF=2BE；于是AB=4BE，而CD=3BE，所以AB+CD=7BE，即63=7BE，所以BE=9（岁），因此，我和弟弟的年龄分别是36和27岁.

3.利用函数解年龄问题

学生问老师今年多少岁，老师说：“我的年龄是你现在的年龄时，你才3岁；你的年龄是我现在的年龄时，我已45岁.”问老师和学生现在各几岁？

解析：如果注意到两个人年龄的对应关系以及不论哪一年两个人的年龄之差总是一个常数，那么从函数入手不难得到如下解法：

设当学生x岁时，老师y岁，老师比学生大b岁，则y=x+b.

再设学生现在的年龄是m岁、老师现在的年龄是n岁，则（m+b，n）、（3+b，m）、（n+b，45）是y与x之间的三组对应值，故

n=m+bm=3+b45=n+b

三式相加，得n+m+45=m+3+n+3b

即3b=42，b=14，故m=17，n=31.因此，老师现在是31岁，学生是17岁.

4.利用数轴解年龄问题

父亲是儿子现在的年龄时，儿子已10岁，而当儿子是父亲现在的年龄时，父亲将是82岁，问父子两人相差几岁？

解析：作数轴：

设A、B两点表示儿子和父亲现在的年龄，并设两人的年龄差为x，注意到父子两人的年龄差不变，可将题目的条件在数轴上表示出来，从数轴上可以看出3x=82-10，x=24 .

【专项练习】

父亲与儿子年龄的和是66岁，父亲的年龄比儿子年龄的3倍少10岁，那么多少年前父亲的年龄是儿子的5倍？

【要点提示】

解答年龄问题的三个核心法则：①随着时间的推移，两个人的年龄都增加相等的量；②两个人的年龄差在任何时候都是固定不变的；③两个人年龄之间的倍数关系是随着年份的递增而递减的.

解答年龄问题的一般方法： 几年后的年龄=大小年龄差÷倍数差-小年龄；

几年前的年龄=小年龄-大小年龄差÷倍数差.