一次函数应用题的类型及解法

近几年的中考数学试题呈现出一个明显的趋势，就是更加联系实际，更加贴近生活.一次函数在社会生产和实际生活中有着十分广泛的应用.由于一次函数应用题的语言叙述较多、数据量较大，同学们在审题、解题的过程中容易出现失误.下面就一次函数应用题的几种主要类型及解法举例分析.

一、 方案优化问题

我市某乡A、B两村盛产柑桔，A村有柑桔200吨，B村有柑桔300吨.现将这些柑桔运到C、D两个冷藏仓库，已知C仓库可储存240吨，D仓库可储存260吨；从A村运往C、D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B村运往C、D两处的费用分别为每吨15元和18元.设从A村运往C仓库的柑桔重量为x吨，A、B两村运往两仓库的柑桔运输费用分别为yA元和yB元.

（1）请填写下表，并求出yA，yB与x之间的函数关系式；

（2）试讨论A、B两村中，哪个村花的运费较少；

（3）考虑到B村的经济承受能力，B村的柑桔运费不得超过4830元.在这种情况下，请问该怎样调运才能使两村运费之和最小？求出这个最小值.

解：（1）yA=-5x+5000（0≤x≤200），

yB=3x+4680（0≤x≤200）.

（2）当yA=yB时，-5x+5000=3x+4680，x=40；

当yA>yB时，-5x+5000>3x+4680，x<40；

当yA40.

当x=40时，yA=yB即两村运费相等；

当0≤x<40时，yA>yB即B村运费较少；

当40

（3）由yB≤4830得3x+4680≤4830∴x≤50

设两村的运费之和为y，∴y=yA+yB.

即：y=-2x+9680.

又∵0≤x≤50时，y随x增大而减小，

∴当x=50时，y有最小值，y最小值=9580（元）.

答：当由A村调往C仓库的柑桔重量为50吨、调往D仓库为150吨，由B村调往C仓库为190吨、调往D仓库110吨的时候，两村的运费之和最小，最小费用为9580元.

要点提示：解答方案比较问题，求函数式时，对有图象的，多用待定系数法求；对没有给出图象的，直接依题意列式子；方案比较问题通常与不等式、方程相联系；比较方案，即比较同一自变量所对应的函数值，要将函数问题转化为方程、不等式问题；解答方案比较问题尤其要注意：不同的区间，对应的大小关系也多不同.

二、利润最大化问题

某个体小服装店主准备在夏季来临前，购进甲、乙两种T恤.两种T恤的相关信息如下表：

根据上述信息，该店决定用不少于6195元，但不超过6299元的资金购进这两种T恤共100件.请解答下列问题：

（1）该店有哪几种进货方案？

（2）该店按哪种方案进货所获利润最大，最大利润是多少？

（3）两种T恤在夏季很快销售一空，该店决定再拿出385元全部用于购进这两种T恤，在进价和售价不变的情况下，全部售出.请直接写出该店按哪种方案进货才能使所获利润最大.

解：（1）设购进甲种T恤x件，则购进乙种T恤（100-x）件.

可得，6195≤35x+70（100-x）≤6299.

解得，20≤x≤23.

∵x为解集内的正整数，∴x=21，22，23.

∴有三种进货方案：

方案一：购进甲种T恤21件，购进乙种T恤79件；

方案二：购进甲种T恤22件，购进乙种T恤78件；

方案三：购进甲种T恤23件，购进乙种T恤77件.

（2）设所获得利润为W元.

W=30x+40（100-x）=-10x+4000.

∵k=-10<0，∴W随x的增大而减小.

∴当x=21时，W=3790.

该店购进甲种T恤21件，购进乙种T恤79件时获利最大，最大利润为3790元.

（3）购进甲种T恤9件、乙种T恤1件.

要点提示：在一次函数y=kx+b中，x、y均可取一切实数.如果缩小x的取值范围，则其函数值就会出现最大值或最小值.求一次函数的最大值、最小值，一般都是采用“极端值法”，即用自变量的端点值，根据函数的增减性，对应求出函数的端点值（最值）.

三、行程问题

从甲地到乙地，先是一段平路，然后是一段上坡路.小明骑车从甲地出发，到达乙地后立即原路返回甲地，途中休息了一段时间.假设小明骑车在平路、上坡、下坡时分别保持匀速前进.已知小明骑车上坡的速度比在平路上的速度每小时少5km，下坡的速度比在平路上的速度每小时多5km.设小明出发x h后，到达离甲地y km的地方，图1中的折线OABCDE表示x与y之间的函数关系.

（1）小明骑车在平路上的速度为 km/h；他途中休息了 h；

（2）求线段AB、BC所表示的y与x之间的函数关系式；

（3）如果小明两次经过途中某一地点的时间间隔为0.15h，那么该地点离甲地多远？

图1

解：（1）小明骑车在平路上的速度为：

4.5÷0.3=15，

∴小明骑车在上坡路的速度为：15-5=10，

小明骑车在下坡路的速度为：15+5=20.

∴小明返回的时间为：

（6.5-4.5）÷20+0.3=0.4小时，

∴小明骑车到达乙地的时间为：

0.3+2÷10=0.5.

∴小明途中休息的时间为：

1-0.5-0.4=0.1小时.

故答案为：15，0.1

（2）小明骑车到达乙地的时间为0.5小时，

∴B（0.5，6.5）.

小明下坡行驶的时间为：2÷20=0.1，

∴C（0.6，4.5）.

设直线AB的解析式为y=k1x+b1，由题意

得4.5=0.3k1+b16.5=0.5k1+b1，解得：k1=10b1=1.5，

∴y=10x+1.5（0.3≤x≤0.5）；

设直线BC的解析式为y=k2x+b2，由题意

得6.5=0.5k2+b24.5=0.6k2+b2，解得：k2=-20b2=16.5，

∴y=-20x+16.5（0.5

（3）小明两次经过途中某一地点的时间间隔为0.15h，由题意可以得出这个地点只能在坡路上.设小明第一次经过该地点的时间为t，则第二次经过该地点的时间为（t+0.15）h，由题意

得10t+1.5=-20（t+0.15）+16.5，

解得：t= 0.4，∴y=10×0.4+1.5=5.5，

∴该地点离甲地5.5km.

要点提示：行程类一次函数试题以图象、点坐标相组合的形式呈现，灵活性强，对学生分析问题、解决问题的能力要求较高，重在考查学生的识图能力和创新意识.解决图象中的行程问题除了要掌握好路程、速度和时间三者之间的基本关系外，最重要的是要学会从图象中获取信息，理清各变量之间的关系，然后根据题意选择适当的解题方法.

四、分段计费问题

已知某市2013年企业用水量x（吨）与该月应交的水费y（元）之间的函数关系如图2.

图2

（1）当x≥50时，求y关于x的函数关系式；

（2）若某企业2013年10月份的水费为620元，求该企业2013年10月份的用水量；

（3）为实施省委“五水共治”发展战略，鼓励企业节约用水，该市自2014年1月开始对月用水量超过80吨的企业加收污水处理费，规定若企业的月用水量x超过80吨，则除按2013年收费标准收取水费外，超过80吨部分每吨另加收元.若某企业2014年3月份的水费和污水处理费共600元，求这个企业该月的用水量.

解：（1）设y关于x的函数关系式y=kx+b，

∵直线y=kx+b经过点（50，200），（60，260）

∴50k+b=20060k+b=260解得k=6b=-100

∴y关于x的函数关系式是y=6x-100（x≥50）；

（2）由图可知，当y=620时，x>50

∴6x-100=620，解得x=120.

答：该企业2013年10月份的用水量为120吨.

化简得x2+40x-14000=0

解得：x1=100，x2=-140（不合题意，舍去）.

答：这家企业2014年3月份的用水量是100吨.

要点提示：分段函数的特征是不同的自变量区间所对应的函数式不同，其函数图象是一个折线.解决分段计费问题，关键是要与所在的区间相对应.分段函数中“折点”既是两段函数的分界点，同时又分别在两段函数上，在求解析式时要用好“折点”坐标，同时在分析图象时还要注意“折点”所表示的实际意义，“折点”的纵坐标通常是不同区间的最值.