范德蒙矩阵的病态性与扰动性算法研究

陈美玲等

摘 要：文章介绍和研究范德蒙矩阵的病态性并进行扰动性分析。将数值分析知识与Matlab软件相结合，研究了3-20阶的范德蒙矩阵的条件数随阶数增长，且增长越快导致矩阵病态性越严重，并进行了曲线拟合。以条件数为基础，进一步对AX=b进行扰动分析，证实A和b的微小变动，对解的影响较大。最后对以范德蒙矩阵为系数矩阵的线性方程用雅克比迭代法进行收敛性分析，证实迭代矩阵的谱半径都大于1，即迭代矩阵是发散的。研究矩阵扰动和病态算法在实际科学计算中有重要作用。

关键词：范德蒙矩阵；条件数；扰动性分析；雅克比迭代；收敛性

1 范德蒙矩阵与相关概念介绍

范德蒙矩阵是法国数学家范德蒙提出的一种各列为几何级数的矩阵[1]：

即得解向量的相对误差与右端项的相对误差、矩阵的条件数之间的关系。

2 范德蒙矩阵的病态性分析

（n为大于1的3-20阶正整数），用Matlab求解其条件数[5]，探索范德蒙矩阵条件数，得到图1：矩阵阶数越大，条件数也越大，病态性越严重。进一步探索条件数与矩阵阶数的关系，我们对条件数作了对数拟合[6]，拟合效果如图2所示。

由此，对条件数增长率进一步分析，由Matlab作图3可知，随阶数增加，增长率越大，当然最后19、20阶增长率速度下降。

3 范德蒙矩阵扰动分析

对于线性方程组Ax=b，在实际科学测量时，对于系数矩阵A和常数向量b都有可能存在误差，这些误差称为扰动。在科学实验和工科测量时，系数矩阵或则常数矩阵的一些微小变化可能会导致数值解的很大差距，因此我们要分析这些测量值得变化对结果的影响以及如何影响结果的。现把这些扰动分为两种情况分析，第一种情况：系数矩阵存在扰动，常数向量不存在扰动。第二种情况：系数矩阵不存在扰动，常数向量存在扰动。

4 雅克比迭代法收敛性分析

雅克比迭代法x（k+1）=Bx（k）+g适用于解大型的且系数阵为稀疏的方程组[4]，能减少运算次数，节约存储。采用这种方法研究范德蒙矩阵A随阶数增大，矩阵的收敛性。求得迭代矩阵的谱半径结果如图4所示。

从上面程序可以看出Matlab的强大功能。仅仅只需要几行简单的代码就能将枯燥乏味、冗杂抽象的数值计算问题轻易解决。不仅节约了时间，而且提高了效率，可见数值分析与Matlab相结合能促进科学计算问题得到更好地解决。

参考文献

[1]杜先能，叶郁，殷晓斌，等.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2013.

[2]刘长河，刘世祥.范德蒙矩阵的三角分解[J].北京建筑工程学院学报，2005，21（1）：2-5.

[3]陆全，任学明.一类广义范德蒙矩阵求逆的快速算法[J].西安建筑科技大学学报，2004，36（3）：2-4.

[4]袁东锦.计算方法-数值分析[M].南京：南京师范大学出版社，2004.

[5]周国标，宋宝瑞，谢建利.数值计算[M].北京：高等教育出版社，2008.

[6]任玉杰.数值分析及其MATLAB实现[M].北京：高等教育出版社，2007.

[7]吝维军.符号计算系统与数学实验[M].长春：吉林科学技术出版社，2005.