关于Sakaguchi函数类的子类

2015-06-15 06:06朱慧秋
常熟理工学院学报 2015年4期
关键词:子类畸变极值

徐 能,朱慧秋

(1.常熟理工学院 数学与统计学院,江苏 常熟 215500;2.常熟市外国语初级中学,江苏 常熟 215500)

1 引言

全文设

设 f(z),g(z)在单位圆盘U={z:||z<1}内解析,若存在U内解析函数w(z)使|w(z)|≤|z|且f(z)=g(w(z))(z∈U),称 f(z)在U内从属于 g(z),记作 f(z)≺g(z)(z∈U).设A表示U内形为

的解析函数类;S表示A中单叶函数组成的子类.Sakaguchi[1]引进了类

并证得Ss⊂K(⊂S),这里K是U内近于凸函数类.Sakaguchi函数类Ss也称关于对称点的星形函数类.类Ss与各种相关的函数类已被许多学者所研究,例如可参见文献[1-11].

在我们的研究中需要以下引理.

引理设(1.2)给出的 f(z)∈A满足

这里

证明由(1.1)和(1.5),Aλδn-nB≥-B(n-λδn)≥0(n≥2). 设,则有

因此,应用最大模原理得从属关系(1.4).

我们现在考虑A的以下两个子类:

定义1 (1.2)给出的函数 f(z)∈A称为在类F(λ,A,B)中当且仅当它满足系数不等式(1.3).

从引理看到,若 f(z)∈ F(λ,A,B),则从属关系(1.4)成立.

定义2(1.2)给出的函数 f(z)∈A称为在类G(λ,A,B)当且仅当它满足系数不等式

显然对 f(z)∈ A ,f(z)∈ G(λ,A,B)⇔ zf′(z)∈ F(λ,A,B).

若 我 们 写 αn=αn(λ,A,B)==nαn>αn(n≥2),则 容 易 验 证

因此有以下包含关系:若 0≤ λ≤λ0≤1,-1≤ B0≤B<A≤ A0≤ 1,B≤ 0,则 G(λ,A,B)⊂F(λ,A,B)⊆F(λ0,A0,B0)⊆ F(1,1,-1)⊂ SS,G(λ,A,B)⊆ G(λ0,A0,B0)⊆ G(1,1,-1).

这表明 F(λ,A,B)和 G(λ,A,B)都是 Ss的子类. 对于函数f1(z)与 f2(z)的 Ha⁃damard乘积或卷积定义为

本文的目的是讨论函数类F(λ,A,B)和G(λ,A,B)的畸变不等式,包含关系与卷积性质.

2 畸变不等式

定理1设则对 z∈ U 有

(i)

(ii)当 A=1,

(iii)当A<1,

证明(i)对 n=2m(m∈N)有 δn=0,n(1-B)-λδn(1-A)≥2(1-B).

对 n=2m+1(m ∈ N)有 δn=1,n(1-B)- λδn(1-A)≥ 3(1-B)- λ(1-A)≥ 2(1-B).因此

(iii)当A<1,对 n=2m+1(m∈ N)有

对 n=2m(m∈N)有

同理可得(2.3)中等二个不等式.

定理2设 f(z)∈G(λ,A,B),则对 z∈U 有

(i)

(2.8)中的界是准确的,有极值函数

(ii)

(2.10)中的界是准确的,有极值函数(2.9).证明从略.

3 在G(λ,A,B)与F(λ,C,D)之间的包含关系

下一定理推广且改进前面提到的包含关系G(λ,A,B)⊂F(λ,A,B).

定理3对于 -1≤D≤0,G(λ,A,B)⊂F(λ,C(D),D).

证明我们有设 f(z)∈ G(λ,A,B),易知为证明 f(z)∈ F(λ,C(D),D),只要找最小的C(D<C≤1)使

对一切n≥2成立,或即

当 n=2m+1(m∈N),(3.2)写成

易知 ϕ(n,λ)(n≥2,0≤ λ≤1)关于n是递减的,故

当 n=2m(m∈N),(3.2)化为

且有

显然 ϕ(3,λ)<ϕ(2,0). 因此,若取 C=ϕ(2,0)=C(D),则从(3.1)到(3.6)断定 f(z)∈F(λ,C(D),D).

进 而 ,对 D<C0<C(D),有这表明(2.9)定义的函数

f(z)∈ G(λ,A,B)不在类 F(λ,C0,D)中. 定理证毕.在定理3中取D=B立得下述结果:

推论1且数不能再小.

4 卷积性质

本节中设 -1≤ Bj≤ 0,Bj<Aj≤1(j=1,2).

定理4 设 fj(z)∈ F(λ,Aj,Bj)(j=1,2),则 (f1*f2)(z)∈ F(λ,A(B),B),这里且数 A(B)不能再小.

证 明首 先设则

而 (f1*f2)(z)∈ F(λ,A,B)当且仅当

为证明定理4,从(4.1)和(4.2)知只要找最小的A使对一切n≥2有

或即

当 n=2m+1(m∈N),(4.4)可写成

显然函数 ϕ1(n,λ)(n≥2,0≤λ≤1)是n的减函数,故

当 n=2m(m∈N),(4.4)化为

且有

现在

因此,从(4.3)到(4.10)可见 ϕ1(3,λ)≤ ϕ1(2,0)=A(B),(f1*f2)(z)∈ F(λ,A(B),B).

因此 (f1*f2)(z)∉ F(λ,A0,B). 证毕.

推论2 设 f1(z)∈ F(λ,A1,B1),f2(z)∈ G(λ,A2,B2),则 (f1*f2)(z)∈ G(λ,A(B),B),这里 A(B)与定理 4 中相同,且A(B)不能再小.

定理5 设 f1(z)∈ F(λ,A1,B1),f2(z)∈ G(λ,A2,B2),则 (f1*f2)(z)∈ F(λ,A~1(B),B),

定理6 设 fj(z)∈ G(λ,Aj,Bj)(j=1,2) ,则 (f1*f2)(z)∈ F(λ,2(B),B). 这 里且2(B)不能再小.证明从略.

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