地球模型偏差对远程弹箭弹道仿真的影响及修正*

李伟明，申景诗，孙瑞胜，刘鹏云

（1.山东航天电子技术研究所，山东 烟台 264003；2.南京理工大学能源与动力工程学院，南京 210094）

地球模型偏差对远程弹箭弹道仿真的影响及修正*

李伟明1，申景诗1，孙瑞胜2，刘鹏云2

（1.山东航天电子技术研究所，山东 烟台 264003；2.南京理工大学能源与动力工程学院，南京 210094）

针对地球模型精确度影响远程弹箭弹道仿真的问题，分析了地球模型偏差对弹道仿真精度的影响并加以修正。采用总的地球椭球系，在已有弹道模型的基础上，分析了垂线偏差的产生机理及其对定向定位参数的影响，并由此得出弹道几何偏移随定向偏差的变化规律，研究了引力加速度初值偏差对弹道的误差累积，并对由水准面不平行性造成的实际落点高差进行了理论推导。对比仿真算例表明，考虑地球模型偏差影响的仿真结果与不考虑的情况下差别较明显，在远程条件下对弹道仿真精度的影响不容忽视。

弹道仿真，垂线偏差，定向定位偏差，落点高差

0 引言

弹道仿真是进行导航姿控系统参数设计、指令跟踪、半实物仿真的基础，弹道仿真的精度直接影响实际弹道落点。而远程弹箭的弹道仿真不同于常规弹箭，由于射程及弹道高很大，故要提高远程弹道的仿真精度，必须考虑可能存在的偏差影响并加以修正。在此问题上，近些年来很多学者分别从高空气象条件［1］、测量偏差［2］、垂线偏差［3］、重力偏心［4］和远程弹道仿真落点约束条件［5］等角度对影响远程弹箭仿真精度的偏差因素进行了深入的分析并提出了对应的修正方案。实际上，地球模型的精确程度也是影响远程弹箭弹道仿真的重要因素。以往为简化弹道仿真计算，将地球近似为水准面与椭球表面重合的参考椭球模型，而实际投弹实验及仿真都表明，这种近似会对弹道参数造成一定的偏差积累。

本文以远程弹箭为研究对象，采用总的地球椭球模型，深入分析了以往简化参考椭球模型中被忽略的地球模型偏差对弹道仿真精度的影响，并推导了基于远程弹道方程的偏差修正模型。对比仿真算例表明，地球模型偏差对远程弹箭弹道仿真参数的影响明显，提出的偏差修正模型计算复杂度小，可直接用于弹道方程以提高仿真精度。

1 定向定位参数修正模型

以往为简化弹道计算，将地球近似视为一个能用数学公式严格确定的参考椭球体。因此，理论弹道仿真所采用的以参考椭球体法线为基准的大地坐标系OExEyEzE与实际发射时惯性系统所采用的以当地铅垂线为基准的天文坐标系OTxTyTzT之间存在垂线偏差。垂线偏差使得实际定向定位参数偏离标准设计值，从而直接影响弹道状态参数。

设u为垂线偏差，ξ、η分别为u在子午圈和卯酉圈上的分量，则ξ、η满足如下关系式［6］：

展开并忽略高阶项，得：

式中，LT、BT分别为天文经纬度；L、B分别为大地经纬度。

1.1 初始方位角修正模型

经纬仪在天文坐标系下的水平面内绕铅垂线旋转角Am与铅垂面内转过仰角θm在大地坐标系下的投影由于发射点垂线偏差的影响而产生偏差，从而使得初始天文方位角偏离理论标定值。忽略对准系统的不平行度及不垂直度误差因素且基准线与大地北向夹角Amn已给出，单从弹道仿真的角度建立修正模型，利用OExEyEzE与OTxTyTzT之间的相互转换关系模拟经纬仪传递对准过程。

水平面内：

铅垂面内：

由转换矩阵等式两边对应元素相等的特点，忽略二阶小量并展开，可得初始天文方位角AT0与修正后初始天文方位角A'T0之间的关系：

根据拉普拉斯归算方程，由式（2）可得修正后的初始大地方位角

1.2 发射点地心距修正模型

由于垂线偏差的存在，实际重力场中的重力向量与正常重力场中的正常重力向量不重合，地理纬度与地心纬度间的夹角μ向实际重力向量发生偏转，进而影响地心距的计算精度。

在无垂线偏差的参考椭球体条件下，发射点地心距R0由子午椭圆方程求得：

式中，ae、be分别为地球长半轴和短半轴，φ0为发射点地心纬度。

以发射点O为中心作任意半径辅助球，如图1所示，OZ与地轴平行，OA为铅垂线，OP为椭球地表法线，OD为过O点地心矢径，过点A作圆弧AZ2垂直于面OZPD。由球面三角AZ2P几何关系可求得偏离后实际重力向量与地心矢径间夹角：

图1 考虑垂线偏差时的实际重力向量几何关系图

地心距R0在实际发射系下的投影修正模型为：

2 几何偏移修正模型

当初始定向定位参数由于垂线偏差而偏离原标定值时，势必会造成实际发射惯性系Oipxipyipzip与姿态控制所采用的标准发射惯性系Oixiyizi的不相符，实际弹道与理论弹道间存在几何偏移，直接影响弹道在地心坐标系中的位置。以实际发射惯性系为基准建立偏差修正模型，Oipxipyipzip与Oixiyizi之间的坐标转换关系为：

式中，v，ρ为地速及位置矢量；带前置符号△的量为参数偏差值；△v0为发射点初速偏差；△ρ0为发射点位置偏差。地心大地系到发射系的转换矩阵为：

由Oipxipyipzip与Oixiyizi间的平移矩阵［2］可知：

式中，△B0、△L0为发射点大地纬度和经度偏差量，A0、△A0为发射点大地方位角及其偏差量，H0、△H0为发射点大地高及高程差，ωe为地球自转角速度。根据式（8）、式（9）计算了发射点几何偏移随定向定位参数偏差增大的变化情况，列于表1。

定义参数矩阵 Pi=（LT，BT，AT），Pip=（LT+△LT， BT+△BT，AT+△AT），由于误差系数矩阵是在标准系Oixiyizi中计算的，因此，落点参数在标准系内的投影与原定参数之差即为落点偏差修正量。于是，落点的修正计算公式为：

表1 发射点几何偏移随定向定位参数偏差变化规律

3 引力加速度修正模型

常规弹箭在射程不是很大的情况下，可将地球模型简化作圆球体地表，而对于远程弹箭的弹道而言，这种地球模型的简化会造成弹道误差积累。

由于离心惯性力在弹道方程中单独建模，故此处只分析引力加速度精确修正模型。视地球为总的椭球体，将引力位势U展开为球谐函数级数，取展开式的前3个谐项作为正常椭球体对应的正常引力位势。根据“引力位势对任意方向上的偏导数等于引力在该方向上的分量”的位函数特性，将引力加速度g在标准发射系内r和ωe方向上分别求导，可得椭球体外部空间任一点的引力分量为：

式中，fM为地球引力常数，J2为地球带谐系数，r为火箭弹质心地心距。

引力加速度在发射坐标系中可写成矢量的形式：

由于初始定向定位参数存在偏差，g的实际初值应是实际发射惯性系中参数的函数。进行泰勒级数展开并忽略小量高阶项后，化简得引力加速度初值修正量为：

其中，

式中，μ0为发射点天文纬度与地心纬度之差，R'0见式（6）。

虽然初始引力偏差的量级较小（10-4），但对于远程弹道而言，初始偏差在迭代计算中会导致弹道误差的持续积累。如表2所示，通过仿真计算证明，对于100 km以上射程的弹道可造成量级为101的偏差量，且g的精确程度直接影响了弹道状态参数，所以不容忽视。

表2 引力初值偏差对弹道偏差的积累影响

4 落点高差修正模型

虽然远程弹箭弹道方程中使用高度h代替一般近程弹道方程中发射系纵坐标y进行弹道仿真，但在以往简化的参考椭球系中，水准面与参考椭球面被视为同一地球表面。精确模型中，将地球视为总的地球椭球，此时大地水准面与简化的参考椭球面分离。如图2，由于大地水准面的不平行性，发射点与落点处的大地水准面与参考椭球面是不重合的。实际落点P'与简化模型中的理论落点P之间存在高程差ε。

图2 精确弹道模型中的高程差

根据我国正常高程系统计算模型，P1、P2两点间的水准面不平行高程差为：

式中，γ0为P1、P2两点间正常重力值为0.5HPi处的γ值。

上式中最后一项数值很小，可略去；第一项在P1、P2间距不大的情况下，可认为γ0呈线性变化。略去化简过程，整理得：

式中，系数k可按P1、P2两点平均天文纬度在水准测量规范中查取，△B'T=BTP2-BTP1为P1、P2两点天文纬度差，Hm为P1、P2两点平均高度。

在弹道仿真中，在已知参考椭球面模型下理论弹道落点P的天文纬度及BTP落点地心距RP后，可计算出对应的地心纬度φP，所以再求出图3中所示的落点P与P'的地心纬度之差△φ，即可确定实际弹道落点P'的天文纬度BTP'，进而可通过式（19）求出落点高程差ε。

由于P、P'两点间距相对于全弹道比例很小，为简化计算，将△h线性化为高程差ε，在图3的△OEP'P中，有几何关系式：

为推导方便，将式（20）改写为：

线性化并求偏导数：

用式（19）替换式（22）中的△h，可得：

解隐式方程式（23）可求出△φ，从而确定P'点天文纬度BTP'，回带至式（19）可求出落点高程差ε。

5 算例分析

为分析不同地球模型偏差因素对弹道仿真计算的影响，以某110 km远程制导火箭弹为研究对象进行了方案弹道的六自由度弹道对比仿真计算。设发射点地理经度为119°，地理纬度为38°，正北方向发射，取该点为平原条件下的垂线偏差ξ=4''、η=5''。火箭弹初始质量718.8 kg，原定初速50 m/s，射角40°，气象条件采用射高在30 km以下的标准炮兵气象条件。将本文第1～2节的修正模型归为垂线偏差影响，如表3所示，△x、△y、△z为考虑偏差影响与不考虑偏差影响计算所得的弹道落点位置之差；△vx、△vy、△vz为考虑偏差影响与不考虑偏差影响计算所得的弹道落点地速之差。

表3 有偏差影响与无偏差影响的落点参数之差

通过对比仿真可看出，垂线偏差对弹道仿真落点参数的影响在总模型偏差中所占比例大于50%，对横向位置偏移影响最大，但对落点速度参数影响相对要小；引力加速度计算精度对射程的仿真影响较大，约占总模型偏差影响的47%；落点高差对纵向仿真结果影响最大，由于要通过解隐式函数求取实际落点的天文纬度，故求解过程存在一定的迭代精度误差，但由于落点高差影响比例不大，所以迭代计算精度对弹道仿真造成的估算误差可以忽略。

6 结论

由上面分析可知，垂线偏差对定向定位参数的影响量与天文、大地参数差的数量级相同，并会对弹道动力学参数造成影响，同时会对全弹道造成几何偏差，是影响远程弹箭弹道仿真精度的主要因素。引力加速度初值偏差会在弹道仿真迭代计算中不断积累，并最终对仿真结果造成一定的影响。落点高差主要影响弹道仿真中的迭代计算结束条件，对弹道解算的影响随射程的增加而增大。因此，在进行远程弹箭的弹道仿真时，有必要考虑地球模型偏差以提高仿真精度。

［1］李臣明.高空气象与气动力对远程弹箭弹道影响的研究［D］.南京：南京理工大学，2007.

［2］杨辉耀.大地测量误差对导弹精度的影响与修正［J］.飞行力学，1998，16（1）：43-49.

［3］马清华，赵久奋，王明海.发射点垂线偏差修正研究［J］.弹箭与制导学报，2004，24（4）：396-398.

［4］李臣明，韩子鹏.地球重力偏心对远程弹箭射程的影响［J］.兵工学报，2007，28（8）：919-923.

［5］胡锐，薛晓中，孙瑞胜，等.制导炸弹中坐标转换的误差分析及修正［J］.弹道学报，2008，20（4）：36-40.

［6］牟志华，阎肖鹏，赵丽莉.原点垂线偏差对远程导弹定位结果的影响［J］.弹箭与制导学报，2007，27（3）：176-178.

Analysis and Correction to Effect of Earth Model Deviation on Trajectory Simulation of Long-Range Missile

LI Wei-ming1，SHEN Jing-shi1，SUN Rui-sheng2，LIU Peng-yun2
（1.Shandong Aerospace Electro-technology Institute，Yantai 264003，China；
2.School of Energy and Power Engineering，Nanjing University of Science，Nanjing 210094，China）

The precision of earth model influenced the trajectory simulation of long-rang missile. Aiming at this problem，the effect of earth model deviation on the simulation accuracy is analyzed and the correctional method is presented.Adopting the model of all ellipsoid，this paper analyzes the generation mechanism of plumb-line deflection which affects the parameters of orientation and presented the changing regularity of ballistic geometry migration.Meanwhile，the accumulation of ballistic errors due to the initial deviations of gravity acceleration is studied and landing height difference stem from the nonparallelism of level surface is deduced theoretically based on the existing model trajectory.The contrastive examples indicate that the calculated results are obvious different in both cases.The factors which impact the precision of simulation should not be ignored in the calculation of long-range missile.

trajectory simulation，plumb-line deflection，orientation and position error，launch point altitude error

TP391.9

A

1002-0640（2015）03-0011-05

2014-01-16

2014-03-15

国家自然科学基金和中国物理研究院联合基金（11176012）；南京理工大学自主科研专项基金资助项目（2010ZYTS045）

李伟明（1985- ），男，山东烟台人，博士研究生。研究方向：飞行力学，先进弹箭制导与控制技术。