基于优化模型的折叠桌设计

苏玥莹，高莉丽，窦霁虹，胡君豪

(西北大学数学学院，陕西西安710127)

基于优化模型的折叠桌设计

苏玥莹，高莉丽，窦霁虹，胡君豪

(西北大学数学学院，陕西西安710127)

基于2014年高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题，研究了折叠桌的设计问题，运用多目标优化模型，以稳定性、易加工性、省材性为目标，得到了平板折叠桌加工的各参数，并且分析了折叠桌折叠时的动态变化过程。运用Matlab软件确定最优设计，并用SolidWorks软件绘制其实体模型。

折叠桌设计；多目标优化模型；SolidWorks软件

折叠桌是一种轻巧耐用的便携式日常家具，如何设计一款兼顾产品稳固性好、加工方便、用材最少的折叠桌，一直是厂家最重要的问题之一。

该折叠桌的桌面呈圆形，桌腿有若干木条组成，随着铰链的活动可以平摊成一张平板且由钢筋连接。钢筋两端固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。任意给定折叠圆桌高度和其桌面的直径设计要求，设计者希望据此确定折叠桌的动态变化过程并确定最优设计加工参数。

1 概念定义及符号说明

木板尺寸(2s×2r×δ)：原料木板的长为2s；宽为2r，即折叠桌桌面半径为r；厚度为δ。

夹角大小(θ)：即边缘桌腿与竖直方向的夹角大小，折叠到最大限度时为α，即θ∈[α，90°]。

折叠高度(h)：桌子折叠完全后桌面的高度，其中h包含桌面厚度δ。

桌面木条的根数(n)：即桌面是由n跟木条所组成。

桌面木条的半长度(di)：即作为桌面部分从中心向两边的第i根木条一半的长度，

其中，r是圆形桌面的半径，即所给木板宽度的一半；w为每根木条的宽度，即w=r/n。

开槽长度(ki)：每根木条插入钢筋处需要开槽的长度。

钢筋位置(l1)：链接桌腿木条的钢筋固定在桌腿各组最外侧木条距桌腿末端的长度。

切痕长度(L)：相邻两根木条间所需切割的长度的总和。

弦心距(a)：第一根木条的长度所对应的弦到圆心的距离，0

2 模型假设

(1)厚度对模型结果的影响很小，假设木条的厚度为定值3cm。

(2)假设钢筋能够承受折叠桌以及其承担物体的重量且钢筋很细。

(4)不考虑加工过程中失误导致材料的损失。

3 模型的建立

3.1 折叠桌的描述与加工参数的确定

给定长方形平板尺寸、木条宽度及折叠后桌高。要求建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，并给出此折叠桌的设计加工参数的数学描述。据此建立如下模型：

3.1.1 动态变化过程模型：

为了方便描述，我们为折叠桌建立三维坐标系[1]，以折叠桌下底面的中心为原点，x轴方向平行于木条放置方向，y轴垂直于桌面方向，z轴平行于钢筋插入木条的方向。利用相似三角形的性质得到桌腿末端所在位置的坐标为：

其中，xp是钢筋的位置的横坐标，yp是钢筋的位置的纵坐标。

(θ∈[α，90°])。

动态变化过程需要用不同折叠状态下的桌腿末端位置来表现，所以将钢筋位置坐标整合进上式，建立动态变化模型如下：

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(θ∈[α，90°])。

3.1.2 加工参数模型

开槽长度：

设第i条木条的开槽长度为li，可以以通过折叠桌作为矩形平面时钢筋穿过桌腿的位置与桌子折叠到最大限度时钢筋穿过桌腿的位置来计算。

桌子未折叠时钢筋位置为l1。

桌子折叠到最大限度时，钢筋的位置表示为：

其中，xp、yp是折叠到最大程度时钢筋的坐标，即θ=α。

所以得到木条开槽长度模型为：

桌面木条长度模型：

对于该问题需要建立优化模型，目标是使桌面实际面积最接近于一个半径为r圆形面积，决策变量是a。由几何关系得出di的长度表达式为：

从而可以建立木条长度模型如下：

3.1.3 边缘线模型的确立

观察折叠桌的图像可以看出边缘线是一条三维曲线，我们对该曲线寻找数学模型。首先根据3.1.1建立空间坐标系。

根据几何关系，写出边缘线的数学模型：

其中xp，yp为3.1.1中确定的钢筋的位置坐标：

我们所建立的边缘线数学模型以z为变量，x，y之间相互表达即为桌角边缘线的数学表达形式。

3.2 最优设计的确定

需要讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，包括平板尺寸，钢筋位置，开槽长度，组成桌面的木条长度等。根据设计折叠桌的要求可知该问题是一个典型的优化问题，应利用规划模型对问题进行多目标优化[2]。

由于需要优化的变量个数较多，共有5个变量，分别为：木板的总长度、触地桌腿形成的面积、发生形变的趋势(力矩)、重心与木条开槽长度，本文中我们将问题设置为两层多目标优化问题，先满足第一层模型，在此基础上求解第二层模型。

第一层优化的数学模型将木板长度s、四条桌腿所确定矩形的面积p、切痕长度L及力矩作为目标变量，以边缘桌腿与竖直方向最大夹角α、木条数目n作为决策变量建立数学模型。

为了节约成本，减少用材，我们希望木板长度2 s越小越好：

触地桌腿形成的面积是桌子稳定性的衡量指标之一，这个矩形面积越大则桌子的稳定性越好：

p=2r·2[dn+(h-δ)tanα]。

力矩是地面支持力在垂直于桌腿方向的分力与桌腿长度的乘积，力矩越大桌子的形变趋势越大：

t=ρδsrg·sinα·(s-dn)，

式中ρ是木条的密度为0.5，g为重力加速度9.8N/kg，根据选材的确定性为一定值，所以ρsδrg就是桌子每条边缘桌腿所承受的重力，s-dn就是边缘桌腿的长度。

通过上述分析，可以建立第一层模型为：

maxp=2r·2[dn+(h-δ)tanα]，

mint=ρδsrg·sinα·(s-dn)，

第二层模型中目标变量是重心G与开槽长度k，决策变量是钢筋位置l1。模型如下：

(((s-dn-l1)·sinθ+dn-di)2+

其中yi是桌腿末端的纵坐标：

yi=

4 举例

4.1 对以下模型的求解

对模型一，给定长方形平板尺寸为120cm×50cm×3cm，每根木条宽2.5cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53cm。

之后利用MATLAB程序对模型进行求解，得到最优结果如表1和表2所示。

表1 木条开槽长度

表2 桌面木条的长度

a的最优取值为1.328。

根据该数据所绘制的三维设计图如图1和图2所示。

图1 完全折叠时的折叠桌

图2 未完全折叠时的折叠桌

模型建立恰当。

对模型二，给定桌高70cm，桌面直径80cm，用MATLAB对第一层模型进行求解[3]。

为了方便计算，我们将目标函数表现在同一个式中变为单目标优化问题。因为每个目标变量对结果的影响程度不同，在这里我们对每个变量设置权重βi，

其中bi是0，1，2，3，4，分别表示不同的影响程度(见表3)。

表3 不同取值的影响程度

解得：

平板尺寸：169.28cm×80cm×3cm，

钢筋位置：l1=22.55cm，

木条数目：n=13。

表4 桌面木条的长度

4.2 结果分析

在本文中，模型多为利用几何关系与三角函数推导，简便易行，算法效率高，具有严谨性并且普适性强的特点[4]。

通过对桌面尺寸的建模求解力求让折叠桌更加美观。

引入多目标优化模型，进行两层优化分析，将如此多的目标兼顾取其相对最优的结果(见图3)。

图3 木条的开槽长度

在此，我们提出关于模型改进和拓展思路：在决定模型权重时较为主观，可以根据市场调查与分析获得较精确的权重。

[1]胡良剑，孙晓军，等.MATLAB数学实验[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2]章绍辉.数学建模[M].北京：科学出版社，2010.

[3]姜启源，谢金星，等.数学建模[M].北京：高等教育出版社，2003.

[4]寿纪鳞.数学建模——方法与范例[M].西安：西安交通大学出版社，1993.

[责任编辑 毕 伟]

2015-07-20

苏玥莹(1994—)，女，河南民权人，西北大学数学学院学生。

O221.6

A

1004-602X(2015)04-0004-04