2014年高考数学数列专题解读

靳文岚

【关键词】 数学教学；数列；解读

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 C

【文章编号】 1004—0463（2015）08—0123—01

数列是高中数学的重要内容，也是高考数学的重要考查内容.2014新课标全国卷Ⅱ理科数学高考中数列为第18大题，分值12分；文科数学数列为第5题选择，分值5分和第16题填空，分值5分，共10分.从考题的类型来看，数列会在高考中以各种题型出现，并且题目的难易程度分布均匀，是每年的必考题型之一.从分值来看，数列占10或12分，在高考中占举足轻重的作用，而且是学生容易得分的模块，所以数列在高考中的重要性是不言而喻的.

数列在高考中考查的内容主要有以下几个方面：1.能用等差或等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式求解；2.等差或等比数列的判断与证明；3.数列和其他知识的结合，其中数列常与函数、方程、不等式等知识综合求解.

下面对2014高考中的一些典型题进行分析

一、等差、等比数列基本量的计算

[2014·湖北卷18] 已知等差数列{an}满足：a1=2，且a1，a2，a5成等比数列.

（1）求数列{an}的通项公式.

（2）记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn>60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由.

解：（1）设数列{an}的公差为d，

依题意得：2，2+d，2+4d成等比数列，

故有（2+d）2=2（2+4d），

化简得d2-4d=0，解得d=0或d=4.

当d=0时，an=2；

当d=4时，an=2+（n-1）·4=4n-2.

从而得数列{an}的通项公式为an=2或an=4n-2.

（2）当an=2时，Sn=2n，显然2n<60n+800，

此时不存在正整数n，使得Sn>60n+800成立.

当an=4n-2时，Sn==2n2.

令2n2>60n+800，即n2-30n-400>0，

解得n>40或n<-10（舍去），

此时存在正整数n，使得Sn>60n+800成立，n的最小值为41.

综上，当an=2时，不存在满足题意的正整数n；当an=4n-2時，存在满足题意的正整数n，其最小值为41.

考点分析：本题主要考查等差数列的通项公式，前n项和公式和不等式的相关知识，考查方程思想、分类讨论的思想，同时考查学生的运算能力以及综合运用知识分析问题、解决问题的能力.

二、等差、等比数列的判断与证明

[2014·新课标全国卷Ⅱ17] 已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+1.

（1）证明an

+是等比数列，并求{an}的通项公式；

（2）证明++…+<.

解：（1）由an+1=3an+1得an+1+=3an

+

又a1+=，所以an

+是首项为，公比为3的等比数列，所以an+=，因此数列{an}的通项公式为an=.

（2）证明：由（1）知=.

因为当n≥1时，3n-1≥2×3n-1，

所以≤，即=≤.

于是++…+≤1++…+=1-

<.

所以++…+<.

考点分析：本题主要考查数列的递推关系，考查等比数列的概念，不等式的证明及数列的求和等知识，意在考查考生的分析转化能力与推理论证能力.

三、等差、等比数列性质的应用

1.[2014·安徽卷12] 数列{an}是等差数列，若a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列，则q= 1

考查性质：（1）若{an}是等差数列，则ak，ak+m，ak+2m，…（k、m∈N+）也是等差数列；（2）若{an}，{bn}是等差数列，则{pan+qbn}是等差数列.

2.[2014·北京卷12] 若等差数列{an}满足a7+a8+a9>0，a7+a10<0，则当n= 8 时，{an}的前n项和最大.

3.[2014·辽宁卷8] 设等差数列{an}的公差为d.若数列2a1an为递减数列，则（ C ）

A.d<0 B.d>0 C.a1d<0 D.a1d>0

考点分析：本题主要考查等差数列的通项公式、函数的单调性等知识，体现了对数列和函数的综合考查.

编辑：谢颖丽