复变函数在物理方面的应用

杜朝丽

【摘要】复变函数的建立和发展与解决实际问题有密切关系，本文利用复变函数的保角变换的理论，把横截面为两平行圆柱换成横截面为两平行板，计算出平行圆柱单位长度的电容.利用解析函数的性质，研究平面向量场.

【关键词】保角变换  解析函数  反三角变换  电容器

1  引言

在19世纪，复变函数的理论经过法国数学家柯西，德国数学家黎曼和魏尔斯特拉斯的巨大努力，已经形成了非常系统的理论，并且深刻地渗入到代数学，解析数论，微分方程，概率统计，计算数学和拓扑学等数学分支，同时，它在热力学和电学等方面也有很多应用，20世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理，随着社会越来越快的发展，一些精高技术与复变函数有了很大的联系，比如：解决如何把截面为两平行圆柱变为两平行板，从而研究两平行圆柱单位长度的电容，电势的问题.了解复变函数与实际生活中物体的用途有很重要的意义，从以下几个方面谈论复变函数在物理方面的应用.

2  结合复变函数对非平行板电容器进行了分析

从电动力学出发，结合复变函数对平行板电容器进行了分析，找到非平行板电容器电容的一种算法，并通过实例分析了他们在实际中的应用.

设函数为复变函数.取对数函数为复变函数，

，令代入上式有：    .

比较得，.

当为常数时，平面上为平行于纵轴的的直线族，而在平面，常数的同心圆（弧）族.

当常数时，在平面上为平行于横轴的，直线族，在z平面上为=常数的径向直线族.

可以确定边界条件：

，; ， .

，; ，.

为负电极板与X轴夹角，为正电极板与X轴夹角，-.

（设非平行板电容器板长为，宽为，板间电压为，量为极板间延长交于，夹角

为，两板间窄端和宽端到原点距分别为，.，板间距为）.

由边界条件：作平面图所示：

由保角变换，原电容器成为与横轴，纵轴平行的平行板电容器.

求得板间距为：，板宽.

板面积为：.

电容器==.           （1）

例 设非平行板电容器的极板=0.8，极板宽=0.2，=，=0.4，=0.8，极板的带电量=4.910C，求此电容的电容.

解  由（1）式 此电容器的电容

C==.

（1） 式是针对一般情况下的非平行板电容器推出的计算电容的公式，在应用中要注意其是否满足条件.

3 计算两平行圆柱的电容，电势

已经把平面平行圆柱的横截面变换成平面上是平行板的横截面，则根据图（2）可视为平行板电容器问题处理.平面上，细和粗的两平行圆柱所带的单位长度电量为和-之间的电压为，同样，在平面上所带电量和电压也是不变的，其电容值比变，进而，也可以计算出平面上截面为细和粗的两平行圆柱的电势，用平行电容器电容公式，可求出平面上（图2）平行板电容器每单位长度电容值为

=

有（8）式     ;.      （2）

;.                        （3）

由（2）式和（3）分别消去和，得出对平行板电容器每单位长度带电量为（变换前后电量不变）的图2来说，可利用静电长的高斯定理計算其电场强度为，选带负电极板的电势为0.

两极板间的电势差与变换前的电势差（电压）相同，为了计算半径不同的两平行圆柱的电势，任选图2中处（两极板之间）则是对应平面上的第个圆柱面（环），其半径为，从图

2来分析电势，并考虑与电场强度的关系得：

=.

4  解析函数在流体力学中的应用

设在区域内有一无源，漏的无旋流动，从以上的讨论，即知其对应的复速度为解析函数，我们称函数.

对于无源，漏的无旋流动，复势总是存在的.令为某一流动的复势，我们称为所述流动的势函数.称 （为实常数）为势线，称为所流动的流函数，称 （为实常数）为流线.

因为   ，

所以   ， .

又因为 流线上点的速度方向与该点的切线方向一致，即该线的微分方程为：

即.

而为调和函数，我们有 ， 于是 .

所以 是流线方程的积分曲线.

注  流线与势线在流速不为零的点处互相正交.

例 设复势为试确定流线，势线和速度

解  令则=

所以 势函数和流函数为      .

.

故势线及流线是互相正交的两族等势双曲线，在点的速度为：

=.

通过上面的讨论，我们知道，利用解析函数多电场进行研究是十分理想的，它可将对电场的电位和电通的研究联系起来，克服了分别研究的复杂手续，而且使问题得到简化.但找出这样的解析函数是极不容易的.因此，一般是将问题反转过来，不是根据电场去找解析函数，而是先研究一些不同的解析函数，找出它们所表示的电场图形，再由这些电场的图形，推出带电导体的形状.

【参考文献】

[1]梁困淼.数学物理方法[M].第三版.北京：高等教育出版社，

1998：426-444

[2]游荣义.椭圆柱形电容器电容[J].大学物理， 2001，20（12）：

26-27

[3]孙清华，孙昊.复变函数内容，方法与技巧.武汉：华中科技大学出版社，2003

[4]肖红.实验物理教程[M].合肥：中国科学技术大学出版社，1998：243-249