爱因斯坦速算揭秘

赵国瑞

有一次，爱因斯坦（1879～1955，伟大物理学家）卧病在床，一位朋友去看他，寒暄了一阵之后，他要这位朋友出一道数学题给他做，朋友想了一下，就出了一道乘法计算题：“2 976×2 924=？”

朋友请爱因斯坦在最短的时间内算出得数。爱因斯坦看了看题目，略一思索，便答出得数8 701 824。

这位朋友听后，感到非常惊讶，问他怎么会算得这么快？爱因斯坦笑了笑说：“这两个数的左边都是29，而它们的后两位数加起来正好是100，这样就可以用一种速算法：29×30=870，76×24=（50+26）（50-26）=502-262=1 824，把1 824添在870后面，8 701 824的得数就出来了。”

朋友似乎有点不相信，找了一些类似的题目演算起来。过了一会儿，他敬佩地说：“爱因斯坦先生，您的速算方法真是太妙了！”

看完上面的故事，同学们会有什么启示呢？大家在感叹爱因斯坦算法巧妙之余，能否对其算法进行揭秘呢？我们应该相信自己，勇敢地向权威挑战。爱因斯坦之所以能够快速求出两个数的乘积，主要原因是“眼中有数，心中有式”。

爱因斯坦实际上是做具有某种特点的两个四位数的速算，这两个四位数的前两位数字相同，后两位数字的和为100。按照爱因斯坦的算法，前两位数字相同而后两位数字之和等于100的两个四位数相乘的速算规律是：在相同的前两位数字乘以比它大1的数的积的后面写上后两位数字相乘的积，结果即为这两个四位数的积。

若设这两个四位数分别为abcd ， abef 。abcd表示一个四位数，它的千位数字是a，百位数字是b，十位数字是c，个位数字是d，abef 的意义也是如此，且cd + ef =100，则

abcd · abef =（100 ab+ cd）×（100 ab+ ef ）

=（100 ab）2+100 ab·ef +100 ab· cd+ cd· ef

=10 000 ab2+100 ab（ cd+ ef ）+ cd· ef

=10 000 ab2+100 ab×100+ cd· ef

=10 000 ab2+10 000 ab+ cd· ef

=10 000 ab（ ab+1） + cd· ef 。

由于 cd· ef 表示两个两位数相乘，因此它是一个三位数或四位数，而10 000 ab（ ab+1）表示 ab（ ab+1）的10 000倍，所以只需在 ab（ ab+1）的结果后面写上 cd· ef 的结果，即为abcd·abef 的结果。因此爱因斯坦的速算是有科学依据的。

说明：在证明abcd·abef =10 000 ab（10 000 ab+1） + cd· ef 时，我们没有将abcd表示为10 000a+100b+10c+d，而是将 ab、 cd分别看成一个整体，则abcd可表示为100 ab+ cd，对于abef 也做了同样的处理，这样可以简化运算过程，大大减少运算量。

下面让我们再举一例速算：3 969×3 931。

解：因为这两个四个数的前两位数字相同，且69+31=100，

而39×40=1 560，69×31=（50+19）（50-19）=502-192=2 500-361=2 139。

所以3 969×3 931=15 602 139。

下面请同学们尝试对与爱因斯坦类似的问题进行探究，并用式子表示：

（1）十位数字相同而个位数字之和等于10的两个两位数相乘的计算规律，如24×26，32×38等；

（2）前三位数字相同而后三位数字之和等于1 000的两个三位数相乘的计算规律，如123 498×123 502，512 163×512 837等。

参考答案：（1） ab· ac=100a （a+1）+ b·c（b+c=10）；

（2）abcdef · abcmnp=1 000 000 abc（ abc +1）+def·mnp（ def + mnp=1 000）。