自反代数上的中心化子

马 飞，杨 军

（1咸阳师范学院数学与信息科学学院，陕西咸阳712000；2陕西师范大学数学与信息科学学院，陕西西安710119）

自反代数上的中心化子

马 飞1，2，杨 军1

（1咸阳师范学院数学与信息科学学院，陕西咸阳712000；2陕西师范大学数学与信息科学学院，陕西西安710119）

基于Banach空间X满足X＿≠X的子空间格L，讨论了L上的自反代数AlgL上的中心化子。设Φ为AlgL上的一个可加映射，运用自反代数的结构性质和代数分解，证明了若存在正整数m、n、r≥1，使得∀A∈AlgL，有（m+n）Φ（Ar+1）＝mΦ（A）Ar+nArΦ（A）或Φ（Am+n+1）＝AmΦ（A）An成立，则存在数域F中的常数λ，满足∀A∈AlgL，有Φ（A）＝λA。进一步，得到了自反代数AlgL上的中心化子的一些等价形式。

可加映射；中心化子；自反代数

设A是一个环或代数。给定一个正整数n≥2，如果对任意的A∈A，nA＝0蕴涵A＝0，则称A是n－非挠的。设φ：A→A是一可加（线性）映射，若∀A、B∈A，有φ（AB）＝φ（A）B（φ（AB）＝Aφ（B））成立，则称φ是一个左（右）中心化子；若∀A∈A，有φ（A2）＝φ（A）A（φ（A2）＝Aφ（A））成立，则称φ是一个左（右）Jordan中心化子。若φ既是左中心化子又是右中心化子，则称φ是中心化子；特别地，若φ（A）A＝Aφ（A），则称映射φ是可交换的。若A含有单位元，则φ是一个左（右）中心化子的充要条件是存在λ∈A，使得φ（A）＝λA（φ（A）＝Aλ）。

关于映射在哪些条件下是中心化子一直是国内外学者们研究的热点问题。如文献［1］研究了2－非挠自由半素环A上的可加映射φ，得到如果∀A∈A有2φ（A2）＝φ（A）A+Aφ（A），那么φ是中心化子；文献［2］证明了2－非挠的半素环上的任意左（右）Jordan中心化子是左（右）中心化子；文献［3］证明了2－非挠的素环上的可加映射φ，如果满足∀A∈R，n≥2都有φ（An）＝φ（A）An－1，那么φ是左中心化子；文献［4］推广了文献［3］的结论，证明了在标准算子代数A上，若可加映射φ满足φ（Am+n+1）＝Amφ（A）An（其中m、n为正整数），则存在数域F中的常数λ，使得∀A∈A，有φ（A）＝λA；文献［5］对一般环上的可加映射进行了研究，证明了如果可加映射φ对任意A、B∈R满足AB＝P，有Aφ（B）＝φ（A）B＝φ（P），则φ是中心化子；文献［6］将文献［4］的结果推广到了非自伴算子代数上，证明了在套代数上，若可加映射φ满足（m+n）φ（Ar+1）＝mφ（A）Ar+nArφ（A）（也称为广义Jordan中心化子）或φ（Am+n+1）＝Amφ（A）An，则存在数域F中的常数λ，使得∀A∈A，有φ（A）＝λA；文献［7－8］得到了类似结果。

设X是一个实数域或复数域F上的Banach空间，L是X上的一族闭子空间，A⊆B（X）。定义

则称AlgL为对应于L的子空间格代数，称Lat A为对应于A的子空间格。显然AlgL是含单位元的弱闭算子代数，并且Lat A是完备的子空间格。特别地，如果A＝Alg Lat A，那么称A是自反算子代数；相应地，如果L＝Lat AlgL，那么称L是自反子空间格。容易证明，AlgL是自反的，因此自反算子代数等价于子空间格代数。文献［9－15］对自反代数进行了较为系统的研究，分别探讨了自反代数上的一秩算子、紧算子及导子等。

设H是Hilbert空间，T∈B（H）。如果T和单位算子生成的弱闭代数是自反的，则称T是自反的。显然，T必有非平凡的不变子空间。这说明自反算子代数与著名的尚未解决的不变子空间问题有极为密切的联系。

在Hilbert空间上，自伴的自反算子代数是von Neumann代数；反之，任意von Neumann代数都是自反的。这类代数的理论已经比较成熟，而非自伴算子代数的研究却进展缓慢，其主要原因就是由于其不变子空间格结构的复杂性。

一般地，设X是Banach空间，对于非零元素x∈X，f∈X＊，一秩算子x⊗f定义为

（x⊗f）（y）＝f（y）x，∀y∈X。

下面的命题给出了自反算子代数中一秩算子的一个重要特征。它首先由文献［10］在Hilbert空间中给予证明，但是它在Banach空间中同样成立。为了命题的完整性，这里给出它的证明。

命题1 设L是Banach空间X上的子空间格，则一秩算子x⊗f∈AlgL的充要条件是存在L∈L使得x∈L且f∈L。

证明 充分性。设存在L∈L，使得x∈L，f∈L＿⊥。∀M∈L，如果L⊆M，那么（x⊗f）（M）⊆L⊆M；若LM，则M⊆L＿。其中L＿＝∨｛M：LM｝。所以，f∈L⊆M⊥。（x⊗f）（M）＝｛0｝⊆M，即对于任意的M，有（x⊗f）（M）⊆M。因此，

x⊗f∈AlgL。

必要性。设x⊗f∈AlgL，L＝∧｛M∈L：x∈M｝，则x∈L。下证f∈L。

因而有

本文研究自反代数上的中心化子。不失一般性，假设所有代数和向量空间都作用在实或复数域F上。对于Banach空间X，用X＊表示X的对偶空间，X＊＊表示X的二次对偶空间，I表示X上的恒等算子，并且自反代数AlgX是m、n及m+n－非挠的。

1 满足（m+n）Φ（Ar+1）＝mΦ（A）Ar+ nArΦ（A）的可加映射

本节讨论自反代数上满足（m+n）Φ（Ar+1）＝mΦ（A）Ar+nArΦ（A）的可加映射的刻画，对此，有以下定理。

定理1 设L是Banach空间X上的子空间格，并且满足X－≠X，若可加映射Φ：AlgL→AlgL满足∀m、n、r≥1和A∈AlgL，有

则存在数域F中的常数λ，使得∀A∈AlgL，有Φ（A）＝λA。

先看当（1）式中r＝1时的情形。若可加映射Φ：AlgL→AlgL满足∀A∈AlgL，则有

为此，有以下结论：

定理2 设L是Banach空间X上的子空间格，并且满足X－≠X，若可加映射Φ：AlgL→AlgL满足∀m、n≥1和A∈AlgL，有

则存在数域F中的常数λ，使得∀A∈AlgL，有Φ（A）＝λA。

证明 ∀A、B∈AlgL，在（2）式中用A+B代替A可得

在（3）式中取B＝I，可得

且Φ满足（2）式知，对任意幂等元e代替A可得

上式两边分别左乘和右乘e，有

则∀y∈Ker（f），有

那么，Φ（x⊗f）（Ker（f））＝0。

在Banach空间X中再取0≠z∈X，使f（z）＝1，则∀λ∈F，由f（λz）＝λf（z）＝λ，因而Banach空间X可分解为X＝Ker（f）+Fz。

另外，由于dimX⊥－＝1，则∀A∈AlgL，存在φ（A）∈F，使得A＊f＝Φ（A）f。因而，

从而AlgL可分解为

AlgL＝e1AlgLe1⊕e1AlgLe2⊕e2AlgLe2。

类似文献［7］的证明可得，存在数域F中的常数λ，使得∀A∈AlgL，有Φ（A）＝λA。即结论成立。

下面证明当dimX⊥－＞1时，结论仍然成立。

定义可加映射Φf：X→X，使得∀x∈X有

Φf（x）＝Φ（x⊗f）（z）。

∀λ∈F，f∈X⊥－，由于

∀0≠f1、f2∈，分类讨论。

当f1、f2线性无关时，因Ker（f1）Ker（f2），Ker（f2）Ker（f1），则存在x1、x2∈X使得

则由Φf（x⊗f）＝Φ（x⊗f）可知，∀x∈X，有

因而，对于xi，i＝1，2，有

那么∀x∈X，有Φf1（X）＝Φf2（X），因而Φf1＝Φf2。

当f1、f2线性相关时，由于dim＞1，则存在f′∈，使得f′与f1、f2线性无关，则由前面的结论可知，Φf′＝Φf1，Φf′＝Φf2。从而Φf1＝Φf2。

令e1＝x⊗f，e2＝I－e1，则由上式可知：Φ（Ae1）＝Φ（Ae1）e1，并且Φ（Ae2）＝Φ（Ae2）e2。上式两边乘以e1，并且注意到e1e2＝e2e1＝0，可得

Φ（Ae2）e1＝Φ（Ae2）e2e1＝0。

因而，∀A∈AlgL，有

Φ（A）e1＝Φ（A（e1+e2））e1＝Φ（Ae1）e1。

又因为∀A∈AlgL，有

因而∀x∈X，有Φ（A）x＝Φ0Ax。从而

Φ（A）＝Φ0A。

于是∀A、B∈AlgL，

Φ（AB）＝Φ0AB＝（Φ0A）B＝Φ（A）B。

那么Φ（A）＝Φ（I）A。又由（4）式可知，

Φ（A）＝Φ（I）A＝AΦ（I）。

因而，有Φ（I）∈FI。令λ＝Φ（I），则∀A∈AlgL，有Φ（A）＝λA。

定理1的证明 在（1）式中用A+tI代替A（t为数域F中的任意正整数），注意到Φ（tA）＝tΦ（A），根据等式两边t的同次项的系数相等可得

和

由（6）式可知，∀A∈AlgL，有

在（8）式中用A2代替A，得

将（9）式代入（7）式，化简得

因而Φ满足（2）式。由定理2知，存在λ∈F，使得∀A∈AlgL，有Φ（A）＝λA。证毕。

2 满足Φ（Am+n+1）＝AmΦ（A）An的可加映射

文献［4］研究了标准算子代数上满足φ（Am+n+1）＝Amφ（A）An的可加映射，受此启发，考虑在自反代数AlgL上是否满足，并得到了以下结论。

定理3 设L是Banach空间X上的子空间格，并且满足X－≠X，若可加映射Φ：AlgL→AlgL满足对于任意的m、n≥1和A∈AlgL，有

则存在数域F中的常数λ，使得∀A∈AlgL，有Φ（A）＝λA。

证明 在（10）式中用A+tI代替A（其中t为数域F中的任意数），由Φ的可加性得

由t的任意性可知，对任意t的i次方，（11）式都成立。特别地，当t的次方为m+n－1时，由等式两边系数相等可得

当t的次方为m+n时，由等式两边系数相等可得

给（12）式两边左乘和右乘A可得

上两式相加得

在（13）式中用A2代替A，得

比较上两式可知：

化简可得

将（16）式代入（14）式与（15）式可得

将AΦ（I）A、A2Φ（I）及Φ（I）A2代入（12）式，从而得到一个关于AΦ（A）、Φ（A）A及Φ（A2）的等式：

化简得（m+n）Φ（A2）＝mAΦ（A）+nΦ（A）A。故Φ满足（2）式。由定理2知，存在λ∈F使得∀A∈T，有Φ（A）＝λA。

通过定理1和定理3的证明过程及结论，易有下面的推论。

推论1 设L是Banach空间X上的子空间格，并且满足X－≠X，若可加映射，Φ：AlgL→AlgL是一可加映射，则下面的几个条件等价：

（1）存在λ∈F，使得∀A∈A，有Φ（A）＝λA；

（2）存在正整数m、n、r≥1，使得∀A∈A，有（m+n）Φ（Ar+1）＝mΦ（A）Ar+nArΦ（A）；

（3）对任意的正整数m、n、r≥1和∀A∈A，有（m+n）Φ（Ar+1）＝mΦ（A）Ar+nArΦ（A）；

（4）存在正整数m、n≥1，使得∀A∈A，有Φ（Am+n+1）＝AmΦ（A）An；

（5）对任意的正整数m、n≥1和∀A∈A，有Φ（Am+n+1）＝AmΦ（A）An；

（6）Φ：A→A是中心化子。

3 结语

本文主要研究了自反代数AlgL上满足（m+ n）Φ（Ar+1）＝mΦ（A）Ar+nArΦ（A）和Φ（Am+n+1）＝AmΦ（A）An（其中m、n、r≥1为正整数）的可加映射φ均是AlgL上的中心化子。由于中心化子在算子代数的保持问题研究中具有非常重要的作用，所以这两类保持映射的结果对认识非自伴算子代数，乃至自伴算子代数的结构均具有重要的理论意义。

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〔责任编辑 宋轶文〕

Centralizers on reflexive algebras

MA Fei1，2，YANG Jun1
（1College of Mathematics and Information Science，Xianyang Normal University，Xianyang 712000，Shaanxi，China；2School of Mathematics and Information Science，Shaanxi Normal University，Xi′an 710119，Shaanxi，China）

Based on a lattice Lof a Banach space X with X＿≠X，the centralizers on the reflexive algebras AlgLare discussed.LetΦ：AlgL→AlgL be an additive mapping and using the structural properties and algebraic decomposition on the reflexive algebra，it is proved that if there are some positive integer numbers m，n，r≥1，such that∀A∈A，（m+n）Φ（Ar+1）＝mΦ（A）Ar+nArΦ（A）or Φ（Am+n+1）＝AmΦ（A）An，then there exists someλ∈F，which satisfies∀A∈AlgL，Φ（A）＝λA.In addition，some equivalent forms of centralizer on the reflexive algebras Alg Lare obtained.

additive map；centralizers；reflexive algebras

47B49

O177.2

：A

1672－4291（2015）05－0009－05

10.15983／j.cnki.jsnu.2015.05.153

2014－12－23

教育部高等学校博士学科点专项科研基金（20110202110002）；陕西省教育厅研究计划（2010JK890）；咸阳师范专项科研基金（14XSYK003）

马飞，男，讲师，博士，研究方向为算子代数与算子理论。E－mail：mafei6337＠sina.com