一种空间相关多点地震动合成的实用模拟方法

赵 博，石永久，江 洋，王元清，陈志华

(1. 天津大学建筑工程学院，天津 300072；2. 清华大学结构工程与振动教育部重点实验室，北京 100084；3. 清华大学土木工程系，北京 100084)

一种空间相关多点地震动合成的实用模拟方法

赵 博1，石永久2,3，江 洋2,3，王元清2,3，陈志华1

(1. 天津大学建筑工程学院，天津 300072；2. 清华大学结构工程与振动教育部重点实验室，北京 100084；3. 清华大学土木工程系，北京 100084)

在严格的理论公式推导基础上，对多点地震动合成模拟方法加以简化改进．简化方法将行波效应与不相干效应分开考虑，完全避免了复数运算，可有效降低计算量．提出应根据《建筑抗震设计规范(GB50011—2010)》确定多点地震动所需参数，迭代调整多点地震动以满足规范反应谱的要求，提高所得时程的实用性．通过算例对多种现有多点地震动合成方法的准确性加以验证和分析，指出某些方法在没有严格理论推导的基础上人为改变合成公式，导致其所得多点地震动不满足相干性要求，应谨慎使用．

地震动模拟；空间相关；相干函数；行波效应

地震动的传播是一个复杂的过程，在时间和空间上均存在变化性．由于大跨度结构的平面尺寸较大，地震动的空间变化性可能导致结构不同支承处的地震动不一致，进而改变结构的地震响应特征，由此引出了大跨度结构的多点输入地震响应问题．目前常用于多点输入分析的方法有时程分析法、随机振动法和反应谱法等[1-4]，其中时程分析法是最为成熟、适用范围最广的方法，在研究和设计领域均得到了广泛的应用[5-6]．虽然时程分析法是精确的计算方法，但其计算结果的准确性取决于所输入的多点地震动时程是否准确，因此选择合适的多点地震动时程成为多点输入时程分析法的关键问题．一般情况下，无法获得满足结构尺寸和场地类型的地震动台阵记录，因此多点地震动时程往往由人工方法得到．合成多点地震动时程需考虑以下4种地震动空间效应[7]：行波效应、不相干效应、局部场地效应和衰减效应．如仅考虑行波效应，只需在常用单点地震波前增加零数据点以考虑不同支座处的延时即可；而后3种空间效应涉及地震动频谱成分的调整，因此常常从多点地震动功率谱模型出发，人工合成满足多点地震动模型的时程序列．其中最常用的是文献[8]提出的三角级数形式的多点地震动合成方法，该方法从随机过程理论出发，通过严格的公式推导得到，但需要复矩阵运算，计算量较大．文献[9-10]在文献[8]的基础上分别对各点地震动的相关性和局部场地收敛性加以调整，但缺乏推导和验证的过程，调整后方法的准确性未得到验证．

本文在理论推导的基础上，对现有空间相关多点地震动合成方法加以简化，并对现有多种方法的准确性加以验证；参考《建筑抗震设计规范(GB50011—2010)》[11](以下简称《规范》)，确定多点地震动参数的选择方法，并建立以规范反应谱为目标的多点地震动调整方法．

1 多点地震动合成基本方法与简化

1.1 多点地震动合成基本方法

在建筑结构的尺寸范围内，地震动的4种空间效应中局部场地效应和衰减效应的影响很小，因此以下只考虑行波效应和不相干效应的影响．

Hao等[8]从随机过程的理论出发，推导出了满足空间相关性的地震动公式及合成方法．假定所有M个点的地震动自功率谱密度函数均为S0(ω)，i和j点相干函数为γij(iω)，则多点地震动功率谱矩阵为

对式(1)进行Cholesky分解，得到

其中

令

则第i点的平稳地震动公式为

式中：ωn为圆频率；为在(0，2π)上均匀分布的随机相位角，当m≠r或n≠s时，φmn与φrs相互独立.

该方法的实质为先合成第1点的地震动，合成以后各点时均考虑该点与之前各点的相关性，直至第M个点．

屈铁军等[9]建议在合成每个点的时程的时候均考虑该点与其余各点的相关性，因此将式(6)修正为

在式(7)的基础上，董汝博等[10]提出为了保证局部场地地震波的收敛性，应将各点的随机相位角统一，即将mnnn代替，得到

将式(6)～式(8)对应的合成方法分别命名为方法1、方法2和方法3．其中只有方法1是通过严格的公式推导得到的，而后两者是在方法1的基础上加以修改，并未加以理论论证和有效的算例分析，且没有对所合成的多点地震动的准确性加以判断．后文第3节的算例将反算合成地震动的相干函数，对3种方法加以验证．

1.2 多点地震动合成简化方法

本节以前述方法1为基础，详述本文提出的简化方法的原理与基本过程．

现有多点地震动相干函数一般表示为

式中id为第i点距离原点(任意定义的固定点，可选第1个地震动点)在波传播方向上的投影距离．则多点地震动功率谱矩阵可表示为

其中

矩阵R一般为非负定实对称矩阵，可分解为下三角实矩阵Q与其转置的乘积，即

将式(11)改写为

对比式(2)与式(15)，得出

因此式(4)和式(5)分别等价为

将式(18)代入式(6)，得到

(2) 对矩阵R进行实矩阵的Cholesky分解(见式(14))，得到下三角实矩阵Q．

(3) 由式(17)计算幅值Aim(ω)．

(4) 合成仅考虑不相干效应的多点地震动平稳时程(5) 对式(21)非平稳化处理，如采用与强度包线函数()f t相乘得

(6) 根据式(20)的延时，在式(22)的时程数列前添加K(K＝Ti/Δt，Δt为地震动时程离散数据点的间隔时间)个零点，以考虑行波效应．

相对于原方法，上述简化方法具有以下两个特点：

(1) 计算过程中未涉及复数运算，避免了复矩阵的Cholesky分解；

(2) 将行波效应的相位角从式(6)的三角函数累加过程中分离出来，只需在最后一步各时程数列前添加反应延时的零点即可．

由此可见，简化方法将不相干效应与行波效应单独考虑，完全避免了复数运算，有效减少了计算量，而由于合成过程中未做近似处理，其精度与原方法相同．对于方法2和方法3，由于公式的形式与方法1相同，因此该简化方法也是适用的，只需对式(21)做相应的调整即可，限于篇幅，略去推导过程．

2 基于《规范》的多点地震动合成

《规范》要求人工合成单点地震动的地震影响系数曲线与规范反应谱的地震影响系数曲线在统计意义上相符，其频谱特征应满足场地类型和设计地震分组的要求．对于人工合成的多点地震动也有必要提出相应的控制条件．

2.1 基于《规范》的参数设置

多点地震动合成过程中反映场地条件和设计地震分组的地震动参数主要有3个：视波速vapp、迟滞相干函数和自功率谱密度函数S0(ω)．

1) 视波速

《规范》采用土层等效剪切波速作为判别场地类型的主要依据(见《规范》表4.1.3和表4.1.6)，因此对于已知场地土层类型而没有实测波速的情况，可近似使用规范的剪切波速代替appv．

2) 迟滞相干函数

虽然众多学者们提出了的多种多样的迟滞相干函数模型[12-13]，但对此研究尚未成熟，更无法从规范的角度明确地规定与场地类型对应的值，建议采用多种模型试算．

3) 自功率谱密度函数

地震动自功率谱密度函数可体现地震动的频谱特性，在随机振动领域内得到了广泛应用，常用的模型有金井清模型、Clough-Penzien模型等．由于《规范》给出的是反应谱而不是功率谱，学者们大多在现有地震动自功率谱模型的基础上，通过调整模型参数来逼近反应谱．但现有功率谱模型无法较好地满足反应谱的需求，特别是长周期部分的差别较大．为了与《规范》对应，可采用迭代求解的方法，由规范反应谱直接生成自功率谱密度函数[4]．

2.2 基于《规范》反应谱的多点地震动调整方法

人工合成的多点地震动往往不能严格满足规范反应谱的要求，需进行调整．文献[8]指出，改变幅值Aim(ω)对各点地震动相干性的影响是有限的，因此可以通过改变幅值Aim(ω)达到既调整地震动反应谱又可保持地震动相干性的目的．

借鉴单点地震动调整方法[14]，得到如下多点地震动时程调整步骤．

(1) 计算第i(i＝1，2，…，M)点时程ai( t)的反应谱Sai(ω)．

(2) 对比计算的反应谱Sai(ω)与规范反应谱Sa(ω)，计算相对误差

(3) 如果相对误差E(ω)小于限值(如5%)，则停止迭代；否则，修正幅值Aim(ω)(m＝1，2，…，i)，修正方法可以是或其他方式．

重复上述步骤，直至各点计算反应谱满足精度要求．各地震动点时程的调整过程可独立进行．

3 算例分析

选择8度设防烈度、Ⅱ类场地、第1组地震分组，对应反应谱的水平地震影响系数最大值αmax=0.16，加速度时程曲线最大值amax=0.7 m/s2，特征周期Tg=0.35s；结构阻尼比ζ=0.05；非平稳强度包络函数参数t1=0.8s，t2=7 s，c=0.35[15]；4个点间距均为50,m，考虑行波效应和不相干效应，令视波速vapp=400 m/s，不相干函数采用Luco模型[16]，模型参数α=0.000 25．

由反应谱迭代计算得到的自功率谱密度见图1．

分别采用方法1～3的简化方法合成4点的地震动．由已得时程，计算第1点和第4点的时程相干函数见图2．其中方法2[17-18]是在式(7)的基础上简化得到的，考虑了每一点与其他各点的相关性．

显然，方法1得到的地震动的相干函数与目标相干函数吻合较好．方法2的相干函数与目标相干函数几乎完全不同，由于式(7)中人为添加了多余的项，导致相干性紊乱，因此计算结果相差较大．方法3的相干函数为常数1，这是由于式(8)强行将体现各点随机性的相位角，其结果是各点地震动完全相干，所以求得的相干函数值为1．因此，方法2和3无法满足多点地震动合成的要求，应谨慎使用．

图1 满足《规范》反应谱的自功率谱密度Fig.1Power spectral density in accordance with the standard response spectrum

图2 多点地震动相干函数Fig.2 Coherence function of multi-point ground motion

对方法1得到的地震动按第2.2节的方法进行调整．图3(a)和(b)分别是调整前和经4次迭代调整后地震动时程以地震影响系数形式表示的计算反应谱与目标反应谱之间的比较(限于篇幅，仅以第4点时程为例)．由于所使用的自功率谱密度是由反应谱迭代得到的，图3(a)中时程反应谱与规范反应谱的相似程度比较高，但长周期部分误差较大．由图3(b)可见，经4次迭代后的时程反应谱已非常接近目标谱．图4显示调整后的1、4点间时程相干函数计算值，与图2(a)相比，两者差别很小，进一步验证了单个点幅值调整对相干函数影响较小的结论．最终各点加速度时程见图5．

图3 反应谱Fig.3 Response spectra

图4 时程调整后的相干函数Fig.4 Coherence function after the schedule adjustment

图5 各点加速度时程Fig.5 Acceleration time history of each point

4 结 论

(1) 对多点地震动合成方法进行研究，在严格的理论公式推导基础上，对传统方法加以改进简化．简化方法将不相干效应与行波效应单独考虑，完全避免了复数运算，可有效降低计算量．

(2) 提出根据《建筑抗震设计规范(GB50011—2010)》确定多点地震动所需参数，迭代调整多点地震动以满足规范反应谱的要求，提高所得时程的实用性．

(3) 通过算例对多种现有多点地震动合成方法的准确性加以验证和分析．指出某些方法在没有严格理论推导的基础上人为改变合成公式，导致其所得多点地震动不满足相干性要求，应谨慎使用．

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(责任编辑：樊素英)

A Practical Simulation Method of Spatially Correlated Earthquake Ground Motions

Zhao Bo1，Shi Yongjiu2,,3，Jiang Yang2,,3，Wang Yuanqing2,,3，Chen Zhihua1
(1. School of Civil Engineering，Tianjin University，Tianjin 300072，China；2. Key Laboratory of Structural Engineering and Vibration of Ministry of Education，Tsinghua University，Beijing 100084，China；3. Department of Civil Engineering，Tsinghua University，Beijing 100084，China)

Based on strict theoretical formula derivation，simulation method of spatially correlated earthquake ground motions is simplified and improved. In the simplified method，wave passage effect and incoherence effect are considered separately，and computational complexity is reduced since the complex calculation is avoided. It’s proposed that parameters used in the simulation should be determined according to Code for Seismic Design of Buildings(GB50011—2010)，and to enhance the method’s practicality，ground motions should be adjusted to satisfy the response spectrum supplied in the code. Some existing simulation methods have been studied to verify their accuracy. Numerical analysis shows that ground motions gained from some of the existing methods which change the formula artificially without indispensable theoretical proving may not satisfy the coherence，and should be used with reservation.

ground motion simulation；spatial correlation；coherence function；wave passage effect

P315.9

A

0493-2137(2015)08-0717-06

10.11784/tdxbz201311021

2013-11-08；

2014-02-25.

国家自然科学基金重点资助项目(51038006)；高等学校博士学科点专项基金资助项目(20090002110045).

赵 博（1987— ），男，博士研究生，zhaobo-jiangong@163.com.

石永久，shiyj@tsinghua.edu.cn.