《复变函数与积分变换》实验教学的实践和探讨

茹 静

（吉林化工学院 理学院,吉林 吉林 132022）



《复变函数与积分变换》实验教学的实践和探讨

茹 静

（吉林化工学院 理学院,吉林 吉林 132022）

针对《复变函数与积分变换》课程开展实验教学的必要性和可行性进行分析，探讨了实验教学的教学方法的改革，并结合教学实践，通过对利用Matlab软件进行实验教学的教学实例的分析对教学效果进行了相应的探讨。

复变函数与积分变换；实验教学；Matlab

复变函数论是一门古老而富有生命力的学科，早在19世纪，Cauchy、Weierstrass及Riemann等人就已经给这门学科奠定了坚实的基础[1]。《复变函数》这门课程不仅是信息与计算科学专业以及应用数学专业的一门重要专业课，更是物理、电气、自动化、通信等工科专业的专业基础课，很多学科领域重要成果的形成都以复变函数理论为基础。《积分变换》课程的主要内容是Fourier变换和Laplace变换。积分变换的理论与方法不仅在数学的许多分支中，而且在自然科学和工程技术领域中均有着广泛的应用，已经成为不可缺少的运算工具。

结合我院信息与计算科学专业以及应用数学专业的教学要求与培养方案的学时安排，我院对复变函数这门专业课增加了积分变换的内容，开设了《复变函数与积分变换》这门课程。该门课程的传统的教学方法主要是理论教学，经过几年的教学实践，结合本专业学生的实际情况，我们提出了将数学实验融入理论教学，利用Matlab软件促进教学的教学改革，下面就其必要性及其实施情况进行探讨。

一、《复变函数与积分变换》课程开展实验教学的必要性与可行性分析

（一） 开展实验教学的必要性

教育部在“面向21世纪教学内容与课程体系改革计划”中明确提出要加强数学教学过程中的实践环节，加强数学理论学习与实际应用相结合，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的综合素质[2]。

传统的《复变函数与积分变换》的教学方法一般是先给出概念，然后按着“定义→假设→定理→证明→推论”这样的教学模式进行。但这种方式下学生难免觉得枯燥乏味，学习的积极性不高，特别是课程是考查课的情况下，教学效果不是很理想。另外，由于该课程思维方法的独特性、理论基础的抽象性，以及多种基础数学知识的融汇、灵活而广泛的使用，使得学生在学习这门课程时存在着一定的困难。通过长期的教学实践，发现《复变函数与积分变换》课程的教学过程中存在几个突出的问题：一是重理论轻应用，目前的国内教材在处理该课程时，理论背景的介绍相对很少，在课堂教学过程中，教师过多的注重对理论的推导证明以及利用公式纯粹计算，而忽略了理论背景下强大的应用性；二是目前该课程的教材既缺乏支撑理论来源的相关专业课程背景，又缺乏在后继专业课程学习过程中的理论支撑，这就导致了会出现与后继专业课程的学习衔接不紧密的情况；三是教学中缺少相应的实验环节，只有数据处理的理论，没有数据处理的工具，缺乏与计算机语言的结合，当学生遇到大量数据需要进行繁琐计算和理论性较强的分析、推理和验证过程时会感到一筹莫展[3]。于是为了提高学生学习的积极性，使学生会学、会用、会做数学，从而提高学生对数学的应用意识，有必要改变传统的教学模式，引入实验教学环节来促进理论教学。

（二） 开展实验教学的可行性

Matlab是数值计算型的数学类科技应用软件,具有数据可视化能力,集数值计算、符号计算和图形可视化三大基本功能于一体，功能强大、操作简单，目前已成为数学专业课程的基本教学工具。Matlab在《复变函数与积分变换》课程中的使用也非常简单，多数的知识点处的计算只需要使用具体的命令就可以实现，不涉及复杂的编程，所以在软件方面对学生的要求不是很高容易掌握。另外，信息与计算科学专业的基础专业课程，如《数学分析》、《高等代数》、《解析几何》等课程的教学中已引入数学实验环节，所以学生对Matlab软件已有了初步了解，可以接受，而且通过本门课程的学习还可以加强对该软件的学习，为后续课程的学习奠定基础，所以，开展实验教学具有可行性。

二、教学内容与教学方法的探讨

（一） 教学内容的改革

在教学中对两本教材《复变函数》与《积分变换》中的内容进行适当调整，主要是适当淡化较难的数学推导，根据学生的实际水平和学时数，适当删减理论性较强的内容和方法雷同的繁琐的定理证明。考虑到学时的安排，《复变函数》教材中，删掉了第六章共性映射的内容，将其思想在第二章的内容中与讲解解析函数中映射的概念时介绍给学生，重点讲述第三、四、五章的内容。对于《积分变换》中的Fourier变换和Laplace变换考虑到学生后续学习中的应用情况，重点介绍Fourier变换的概念、性质、卷积及其应用，而Laplace变换的相应知识的讲解与Fourier变换的内容很相似，所以给出Laplace变换的定义后通过简单的介绍，学生就可以很容易接受它的性质和应用，可以节省学时。另外，对《复变函数》的五章以及《积分变换》的两章内容，添加了实验教学的内容，由于应用Matlab软件计算《复变函数》和《积分变换》的内容不涉及复杂的编程，只是一些已有命令的直接调用，所以所占学时不多，只在课程的最后集中安排学生上机练习，平时的内容都是安排在讲课中由教师演示给学生，学生随堂或课后自己练习。总之，通过对教学内容的合理调整，在知识点和总学时没有减少的情况下，增加了知识容量，丰富了教学内容，有利于提高学生的学习积极性和教学效果。

（二） 教学方法与考核方式的改革

1.传统板书与多媒体教学相结合

《复变函数与积分变换》课程总学时为40学时，包含两门课程的内容，考虑到在学时本身不多的情况下既要增加实验内容，又不想删减现有的内容，我们采取的教学方法是首先将传统的只用板书讲解改为多媒体教学，目的是节省教学时间提高教学效率。

使用多媒体教学可以丰富课堂内容、优化 学习过程、提高学生的学习兴趣和学习效率。利用电子课件进行教学，可以使教学更加生动和立体，从而利于培养学生的理解力、洞察力、数学思维能力，同时还能将某些抽象的理论具体化，在很大程度上节约黑板书写的时间，增加授课的信息量。

2.注意采用类比、启发式教学方法

《复变函数》是《数学分析》的后继课程，是《数学分析》的继续和发展，傅里叶变换也是在傅里叶级数基础上的继续，因此《复变函数与积分变换》课程和《数学分析》课程有着千丝万缕的联系，给学生讲清楚两门课程之间相关知识的关系不仅有利于学生学好《复变函数与积分变换》自身的内容，更有利于加深对《数学分析》知识的掌握，这个过程中就必须注意类比教学法的应用[4]。《数学分析》中研究的函数都是实变量函数，而复变量函数是实变量函数理论的延拓,两者的区别与联系贯穿《复变函数》课程教学的始终,两者根本的差异在于极限定义的不同，原因是复变量函数的变量的个数本质上是两个，这与一元实变量函数不同，而与二元实变量函数又很相似，但是在形式上又可以将复变量函数理解为以单个复变量 为自变量的一元函数，因此要强调对概念的理解一定从本质出发而不能停留在表面，然后再对照实变量函数相应的极限概念来理解学习复变量函数极限的概念。这样教师只要把两者根源分析清楚,其他的由极限所引申发展出来的连续、可导、可微、积分的概念就可以引导学生自己总结得出。教学中常常将两类函数多作对比,便于学生加深对实变量函数的理解,进而更清楚地认识了复变量函数,解决学生将两者混淆,甚至认为课程晦涩难懂的问题[5]。

3.实验教学与理论教学相结合

与其他专业课的实验教学不同的是该课程的理论教学和实验教学都在数学实验室进行，教学的环境允许学生可以随堂进行实验操作，所以对于实验环节的处理不是安排单独的实验课，而是把实验内容融入到教学环节，适当减少理论证明和例题的计算的讲解，加入应用Matlab软件演示计算结果，由于《复变函数和积分变换》中的计算实现只需要用到Matlab中一些简单的命令，所以操作起来比较容易，对时间的要求不是很多，具有可实行性。在所有内容结束后，将原来安排的理论测试的时间改为学生上机实习的时间，测试通过课后布置开放试题的方式进行，这样可以给学生一个集中练习上机操作的机会，可以通过上机实践计算，从而快速复习各知识点，加深对概念的理解。

4.考核方式的改革

由于教学内容添加了实验部分，所以对原有的考核方式和内容也做了改革。只有理论教学时考核分为平时和期末两部分，平时占30%，期末占70%，而期末考试的方式主要是开卷考试，平时测验闭卷，经过几年的教学实践，感觉效果不是很好,特别是期末开卷成绩不理想。开展实验教学以后，将考核内容增加了实验部分，除了平时成绩，分为理论和实验两块考核，考核的方式除了课堂内开卷考试外，增加了课外开放试题的内容，而且实验部分的试题在内容上与理论部分试题的部分内容一致，也就是一道题用笔算后，再上机用软件计算，这样考核一方面可以在考核实验的同时检验理论计算的准确性，另一方面，对于学生来讲如果笔算不会，还可以在实验部分得分，反之亦然。这样在一定程度上降低了考试的难度，但增加了广度，更大程度的反映了学生的真实学习成绩。

三、教学效果的探讨

经过一学期的教学实践，对信科与计算科学专业的学生在《复变函数与积分变换》课程开展了实验教学，教学效果显著，体现在以下几个方面：

（一） 多媒体教学，形象生动

相对传统的单一的板书理论教学，引入多媒体教学后，教师可将教学内容形象直观地展示出来，使抽象的理论变得生动直观，加强了学生对知识的理解。多媒体图文声像并茂、色彩鲜明，即能使传统的教学变得新颖活泼，又能有效的激发学生的学习兴趣与积极性[6]。例如，在讲授复变函数这一章内容时，涉及到的映射和初等函数的概念及图像时，由于复变函数复变量的特殊性，它的图形如果是传统的板书教学的环境下是不能形象直观的画出来的，而在多媒体教学的环境下，我们可以通过数学软件画出图形，作成课件演示给学生，激发了学生的学习兴趣，将抽象的内容形象化，提高了教学效率。

（二） 实验教学促进理论教学

由于本课程对实验教学的安排是与理论教学同时进行，所以授课地点安排在数学实验室，教学环境较好，多媒体和上机同时进行，在教学过程中随时可以应用Matlab软件计算，演示给学生，而学生也可以随堂练习上机操作，这样活跃了课堂气氛，加强了教与学的互动，通过实验直观的观察，使学生更好的理解抽象的理论和概念。比如，、讲解复变函数的三角函数的正弦、余弦函数时，它们虽然有很多性质和实变函数的正余弦函数一样，但也有很多不同之处，比如无界性，这些内容只是讲解，对学生来讲只是机械的记忆，但是用Matlab软件绘出正余弦函数的图形后，可以从图形上直接观察函数的变化趋势，这样学生就能够很好的接受正余弦函数无界的事实了，关于这一点，在下一节的实验教学实例中可以看到。除此之外，将实验融入到理论教学中，可以在一定程度上让学生练习使用数学软件，初步熟悉它，练习简单的操作，为后续开设软件课程打好基础。

（三） 改进的考核方式更能真实的反映学生的学习情况

开展实验教学后，学生的总评成绩较以往的理论教学成绩有所提高，原因是新的考核方式包含的内容更多更全面，特别是期末测试中对实验的考核，使学生可以用软件计算理论部分的试题，这样即使用公式计算有困难或数值有错误，也可以通过实验校正，降低了错误率，一定程度上提高了成绩。另外，通过布置开放试题、学习心得，可以了解学生的学习情况，发现学生在哪部分存在的问题较多，有利于今后改进教学。

四、实验教学实例

《复变函数与积分变换》的实验教学的教材很少，对于它的计算可参考的例子也不多，需要教师将Matlab软件的用于教学计算，下面就用我们实验教学中的两个教学实例说明教学效果。

（一） 绘制复变函数图像

与实变函数相比，复变函数由两部分组成，即实部和虚部两个二元函数，因此需要在四维空间中表示复变函数的图形[7]。借助Matlab软件利用三维空间图和颜色条显示复变函数的图形，这在传统教学中是不能实现的，只能抽象的介绍。

例1：绘制函数z2及函数logz的图像。

输入Matlab语句如下[8]：

>>z=cplxgrid（30）;

>>cplxmap（z,z.^2）

>>colorbar（'vert'）;

>>title（'z^2'）

绘制z2的图像，如图1所示：

图1 z2的图像

绘制函数logz的图像的命令语句可以将上述命令中的z2改为logz即可，也可以用下面的命令实现。

输入Matlab语句如下：

z=cplxgrid（30）;

>>w=log（z）;

>>surf（real（z）,imag（z）,real（w）,imag（w））

>>colorbar（'vert'）

>>title（'log（z）'）

绘制logz的图像如图2所示，这里对于多值函数logz只画出了主值lnz的图像。

图2 logz的图像

（二） 计算Fourier变换和Laplace变换

Fourier变换和Laplace变换的计算公式复杂，计算过程很繁琐，课堂讲解时比较费时间，导致课堂内容的信息量不够大，应用Matlab软件计算后，节省了大量时间，提高了课堂的效率，授课效果明显提高。

输入MATLAB语句如下:

>>symstw

>>f=sin（3*t）/（pi*t）;

>>F=fourier（f） % 求Fourier变换

输出结果为：

F=heaviside（w+3） -heaviside（w-3）

即F（w）=u（w+3）-u（w-3），

求逆变换，输入命令：

>>f=ifourier（F,w,t）

输出结果为：

f=sin（3*t）/（pi*t）

画频谱图，输入命令：

>>ezplot（F,[-10,10]）

频谱图如图3所示：

图3 f（t）的频谱图

例3：设函数f（t）=sin2tsin3t，求其Laplace变换，并对结果进行Laplace逆变换。

输入Matlab语句如下:

>>symsts

>>f=sin（2*t）*sin（3*t）;

>>F=laplace（f,t,s） % 求Laplace变换

输出结果为：

F=12*s/（s^2+25）/（s^2+1）

求逆变换，输入命令：

>>f=ilaplace（F,s,t）

输出结果为：

f=-1/2*cos（5*t）+1/2*cos（t）

也就是f（t）=sin2tsin3t。

五 结 语

由以上可以看出，利用Matlab软件求解复变函数与积分变换中的问题，可以大大简化求解过程，便于求解实际中较复杂的数学问题，不仅提高和完善了复变函数与积分变换方法的实用性，同时也可以培养学生运用Matlab语言编程的能力[9]。《复变函数与积分变换》作为信息与计算科学专业的一门重要专业课，它的教学实践对我们数学专业教师来讲是一门值得认真学习探索的的学问。由于对这门课程加入实验教学的教学改革我们只进行了一个学期的教学实践，还有很多问题需要进一步的探讨，总结经验，从而促进教学，最终达到良好的教学效果，将好的教学方法推广开，这是一个长期实践的过程。

[1] 茹静.《复变函数》双语教学的实践和探讨[J].吉林化工学院学报,2009,26（5）:34-36.

[2] 张红英.开展数学实验提高《复变函数与积分变换》课程教学质量[J].价值工程,2012（3）:210-211.

[3] 邓英东,吕彦鸣.复变函数与积分变换课堂教学改革的探讨[J].南通工学院学报:社会科学版,2004（4）:36-38.

[4] 李景和.复变函数与积分变换课程的教学改革与实践[J].教学研究,2013（36）:92-95.

[5] 马晓剑,曲智林.采用多种教学方法优化复变函数与积分变换教学[J].三峡大学学报:人文社会科学版,2008（30）:188-189.

[6] 孟桂芝，赵辉，王晶囡.复变函数与积分变换教学中的多媒体应用[J].高师理科学刊,2013（33）:75-77.

[7] 梅茂飞.借助MATLAB软件理解初等复变函数[J].中国现代教育装备,2014（19）:94-95.

[8] 陈 静,段振辉.MATLAB在复变函数与积分变换课程教学中的应用[J].河南机电高等专科学校学报,2011,19（5）: 110-112.

[9] 杨润生,欧阳文,唐宝庆．工科专业复变函数与积分变换课程实践教学探析[J].湖南工业大学学报,2010（3）:102-105．

Practice and Discuss on Experiment Teaching of Function of Complex Variables and Integral Transformations

RU Jing

（School of Sciences,Jilin Institute of Chemical Technology,Jilin City 132022,China）

This paper makes analysis of the necessity and the feasibility of the application of mathematical experiment in the course of Function of Complex Variables and Integral Transformations,and discusses the reformation of the teaching methods.Combining with teaching practice and the analysis of the examples of the Matlab software experiment teaching,the teaching effect is discussed.

Function of Complex Variables and Integral Transformations；experiment teaching；Matlab

2015-09-20

茹 静（1978- ），女，吉林省吉林市人，吉林化工学院讲师，硕士，主要从事数学物理反问题的数值解法方面的研究。

1007-2853（2015）10-0005-05

G 642

A

10.16039/j.cnki.cn22-1249.2015.10.002