马尔可夫过程的4S店汽车销售量预测

汪玉秀，顾巧祥，邢 超，马志斌

（中国计量学院 质量与安全工程学院，浙江 杭州 310018）

随着人们生活水平的提高，客户对于家用小汽车的需求逐渐多样化、个性化.为了满足客户的个性化需求并在激烈的市场竞争中获得优势，这就需要汽车经销商和生产企业对客户的个性化需求进行定量化预测，以便为经销商和汽车生产企业决策提供必要的依据.

迄今为止，已有上百种较为成熟的预测方法，按照性质可以分为定性预测、定量预测和定时预测，如经验估计法、回归分析法、神经网络等.马尔可夫预测法就是典型的定量预测方法，适用于短中期预测，预测精度较好.现实生活中很多问题都具有“无后效性”，即“已知系统目前状态，未来的状态与过去状态无关”［1］，解决这类问题时，需要的信息量相对较少，但是能够有效地解决问题，并且提高解决问题效率.马尔可夫预测法也是一种时间序列分析法，理论十分完善.

俄国数学家马尔可夫于1907年提出马尔可夫性是一类重要的随机过程，马尔可夫过程便广泛应用于预测经济领域、教育领域、自然灾害、医学、公共卫生和机械装配等领域.如朱春伟等建立了马尔可夫模型，从而预测齿轮传动的可靠性［2］；夏正威［3］、秦立公［4］、徐健清［5］、陈永［6］等已将马尔可夫过程理论运用到对卷烟、农产品、家具市场配货及传染病预测等方面；Wu等将马尔可夫运用到了能源需求和自给率预测上［7］；Zhang、Tang等运用马尔可夫链预测湿地的变化趋势［8］；李莉运用灰色马尔可夫对小排量汽车销量进行过预测［9］.

本文将以一汽大众某4S店某款式汽车作为研究对象，提出另一种可供选择的预测方法.该方法基于马儿可夫过程，对汽车综合特征如颜色、排量及版本类型对汽车销售量的影响进行预测，从而较准确地预测对汽车需求的趋势，判断出汽车各种状态所占比例，使经营者掌握市场供求变化的规律，也为销售和生产提供可靠性依据，从而可以提前做好备货准备并快速响应市场需求.

1 基于马尔可夫过程某汽车销售预测方法

马尔可夫过程（Markov process）是一类随机过程，该过程在已知目前状态（现在）的条件下，其未来的演变（将来）不依赖于它以往的演变（过去）.

假设马尔可夫过程｛Xn，n∈T｝的参数集是离散的时间集合，T＝｛0，1，2，…｝，其相应的 Xn可能取值的全体组成的状态空间是离散的状态I＝｛i1，i2，i3，…｝.设随机过程｛Xn，n∈T｝，若对于任意的整数n∈T和任意的i0，i1，…in＋1∈I，条件概率满足

则称｛Xn，n∈T｝为马尔可夫链，简称马氏链.

家用汽车每月的销售量具有不确定性，家用汽车每月的销售量是一个随机变量，若以每月为一个观察周期，则每月的销售量是一个随机过程.在得知当前月份销售量的条件下，汽车未来的销售量都不依赖于它以往的演变，所以汽车每月的销售量具有马尔可夫性.

图1 基于马尔可夫过程某汽车销售预测方法Figure 1 Car sales forecasting method based on Markov process

现以某4S店一汽大众迈腾为例，根据随机过程理论——马尔可夫过程理论，在分析其汽车销售情况的基础上，采用颜色、排量及版本类型建立销售预测模型状态空间S.用统计方法和市场调研等方法，进一步对某汽车销售门店的销售数据进行分析，确定状态空间的初始概率S（t），选择1—8月销售数据确定一阶转移概率P（1），进而计算出9、10及11月的销售情况，并与实际销售情况进行比较分析.如果误差在可接受范围内，说明此方法具有较好的预测性，进而可以预测任意状态t＋1时刻某汽车销售情况S（t＋1），从而为经销商和汽车生产企业决策提供必要的依据，提前做好备货准备以快速响应市场需求.具体方法如图1.

其中用某汽车各状态的使用数量计算汽车综合特征状态的初始状态的概率分布，汽车各状态的概率分布计算公式为

∑Ni表示所研究的状态空间中特定时间内Ei出现的次数总和，Ni表示该状态空间中某指定Ei出现的次数，其中i＝｛1，2，…，n｝.

设数据由状态Ei经过k步变为状态Ej的次数记为n（k）ij，状态Ei出现的次数记为Ni，则由状态经过k步变为状态Ej的转移概率为

由此概率公式可以构造转移概率矩阵，即可以得到各个状态间发生的转移概率

假设S（t）是某月份的初始分布行向量.根据状态空间的初始概率S（t）和一阶转移概率P（1）可以预测下一阶段状态空间的组成概率S（t＋1），即

2 基于马尔可夫过程的某汽车销售状态空间建立

根据调查和分析，客户对汽车的需求主要集中在颜色、排量及版本类型三个方面，所以用此来建立销售预测模型状态空间S.其中用Ei＝｛Al，Bj，Ck｝表示某汽车的具体综合特征状况，即颜色是Al，排量是Bj，版本类型是Ck.

Al＝｛A1，A2，…，A6｝表示汽车的颜色状况，分别表示冰川蓝、糖果白、幻影黑、开金罗、摩卡棕及发射银；Bj＝（B1，B2，B3）表示汽车的排量状况，分别表示1.4T、1.8T及2.0T 的排量；Ck＝（C1，C2，…，C5）表示汽车的版本类型，分别表示舒适型、领先型、豪华型、尊贵型及旗舰型.其中排量是1.4T只有舒适型和豪华型的；1.8T的有舒适型、领先型、豪华型及尊贵型；2.0T的有豪华型、尊贵型及旗舰型.

设该研究系统有n个互不相容的状态，则初始向量为

式中Sj（0）为系统处在状态j的初始概率.

经过t步转移后系统处于状态j的概率为Sj（t），则t步转移后的状态向量为

式中Sj（t）为系统t时刻处于状态j的概率.

于是综合了汽车颜色、排量及版本类型，建立的汽车销量马尔可夫预测模型为

当初始状态向量S（0）和状态转移概率矩阵P（1）已知时，便可以利用上述预测模型，预测在t时刻系统所处的状态［10］.

因为该种类型的车是中档车，所以对汽车功率的要求很高，因此剔除小排量1.4T的相关数据，以下的研究只包括排量是1.8T及2.0T的所有情况.所以，研究状态从原先的54（C））种变成42（））种，研究对象也从原先的120辆变成115辆.如E1代表A1B2C1，表示的是一辆颜色为冰川蓝，排量为1.8T的舒适型的某汽车.具体包括的42种情况如表1.

表1 汽车综合特征情况表Table 1 Comprehensive characteristics of cars

随着时间的推移，每一状态都有可能向其它状态进行转移.所以，按照时间先后顺序，可以得到某汽车1—11月115辆的转移情况，如表2.

表2 实际销售状况表Table 2 Actual sales of cars

3 某汽车销售状态空间初始概率及一阶转移概率确定

按照销售时间的先后顺序，对一汽大众某4S店1月至11月某汽车的销售数据进行分类整理，可以得到汽车各种状态所占百分比，即各月的初始状态概率.

首先，设S（t）是某汽车在t月的各种状态的概率，其中t∈｛1，2，3…，11｝，根据公式（1），可以得到一汽大众某汽车连续11个月的各种状态所占百分比（其中Ei表示汽车的42种研究状态，Y（t）表示每月各状态的实际概率），具体情况如表3.

表3 汽车状态原始概率分布表Table 3 Original probability distribution

（续表）

根据某汽车各种状态每月的概率分布运用马尔可夫过程进行汽车各种状态的演（见表3），可以得到8月的初始概率分布

运用马尔可夫过程对汽车各状态演化进行研究的关键在于建立状态转移概率矩阵P（1）（在时刻t系统状态为S（t），在下一时刻t＋1系统转移到状态S（t＋1）的概率.根据销售时间先后顺序对某汽车42种状态情况进行处理，并计算数据由状态Ei经过k步变为状态Ej的次数n（k）ij，状态Ei出现的次数Ni，以便构造一步转移概率矩阵P（1）.现以1—8月的数据为例，按照时间先后顺序对数据进行汇总分类，可得到某汽车各种状态的转移频数如表4.

表4 汽车状态转移频数表Table 4 Sate transition frequency table

根据公式（2）和（3），并结合表4可以得到某汽车的一步转移概率矩阵P（1）：

4 实例论证及结果分析

下一阶段状态空间的组成概率预测结果S（t＋1），不仅可以为选择汽车颜色、排量及版本类型提供定量依据，还可以为生产、制造和服务的准备工作提供依据.然后，运用Matlab根据公式（4），对某汽车9、10及11月份的各种状态进行预测，可以得到这3个月的预测概率：

为了对模型拟合与预测的效果进行评估，需要对某汽车各种状态的预测值和实际值进行比较分析.每月的绝对误差（AE）及平均绝对误差（MAE）计算如下：

根据公式（11）和（12），可以得到9—11月某汽车42种状态的实际值、预测值、绝对误差和平均绝对误差，结果如表5.

表5 某汽车42种状态的绝对误差与平均绝对误差Table 5 Absolute error and Mean absolute error

观察9月、10月及11月某汽车42种状态的绝对误差，发现9月与10月份有的误差较大，这是因为9月与10月是销量黄金时期，而使用的初始概率是8月份汽车各状态所占比重，并且该模型是结合三种特征进行建立的.但是每月的绝对误差均在5% 以内，分别是3.22%、2.99%、3.24%，平均绝对误差仅为3.15%，也在5%以内.所以认为误差在可接受范围内，即预测的结果与实际状态过程基本相符，说明了马尔可夫模型在汽车销售预测上具有较好的准确性.证明了马尔可夫模型在汽车综合特征状态转移中运用的可靠性，因此可以用该模型对某汽车各种状态12月份的分布情况进行预测.

5 某汽车下一状态空间预测

为了使预测结果更加精确，选择11月为初始概率，根据1—11月的数据得到的转移概率矩阵，对12月份某汽车各种状态的概率分布进行预测.根据以上步骤，1—11月份的转移概率矩阵如下：

根据预测公式，可以计算出12月份某汽车各种状态的预测结果，如表6.

表6 某汽车12月的预测值Table 6 Car sale forecast data in December

结果表明12月份最畅销的三款分别是E39（A6B2C4）、E21（A3B3C5）和E34（A5B3C4），即最畅销的三款分别是发射银色的1.8T尊贵型、幻影黑色的2.0T旗舰型及摩卡棕色的2.0T尊贵型，分别占12.21%、9.09%及9.09%.

6 结 语

本文综合“汽车颜色、排量及版本类型”三个因素，建立了马尔科夫过程的4S店汽车销量预测模型，提供了一种可供选择的预测方法.从结果可以看出汽车每月的预测值与实际值的绝对误差和平均绝对误差均在5%以内.因为该预测只考虑了三个因素就达到了较高的精度，模型预测准确性较好，所以可对12月份汽车各状态概率分布进行预测.若结合预测的汽车销量，可以得到汽车各种状态的汽车数量，从而可以提前配置好各种颜色、排量及版本类型的汽车.

运用科学的方法，能够准确有效地分析汽车市场的真正需求，预见汽车市场的变化趋势，能使汽车销售商提前做好备货准备并快速地响应市场，也能够使经营者掌握市场供求变化的规律，为汽车的生产和销售决策提供可靠的依据.

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