射线稳定性参数与波导不变量❋

陈 鹏， 林 巨

(1. 中国海洋大学信息科学与工程学院， 山东 青岛 266100；2. 海军青岛雷达声纳修理厂， 山东 青岛 266000)



射线稳定性参数与波导不变量❋

陈 鹏1,2， 林 巨1❋❋

(1. 中国海洋大学信息科学与工程学院， 山东 青岛 266100；2. 海军青岛雷达声纳修理厂， 山东 青岛 266000)

基于简正波理论的波导不变量在声传播特性描述中已得到广泛应用，而当环境与距离无关或存在轻微扰动时，基于射线理论的声场特性可以用一个新的物理量—射线稳定性参数来描述。本文通过简正波干涉声场数值模拟，通过分析简正波相长干涉形成的能量包传播路径与射线传播路径相互关系，利用简正波水平干涉结构距离上的周期性与射线水平跨距相等的特点，采用简洁方式证明了射线稳定性参数与简正波波导不变量间的等价性，从而在射线和简正波理论中建立了一个新的联系。对远距离射线模型声传播仿真结果的分析表明，与射线传播时间相比，射线稳定性参数作为射线理论的一个新的参数，可有效用于描述声传播特性，并能够反映海洋环境变化，应用于海洋环境参数声学反演。

射线不变量；射线稳定性参数；简正波干涉；波导不变量

简正波和射线理论是水声学研究的2个重要基本理论。简正波方法将声场分解为垂直方向的驻波和水平方向的行波，计算较为精确，而射线方法虽然是一种高频近似，但由于其简单、直观，可为声传播描述提供清楚的直观图像，两者都同样得到了广泛的应用。当海洋环境水平变化存在轻微扰动时，导致简正波耦合，相应的声场强度的R-ω平面随之发生改变并可以用简正波波导不变量β来描述[1]。目前简正波波导不变量已广泛用于目标定位、目标追踪和海洋环境参数监测中[2]。众所周知，当海洋环境发生扰动时声线会发生弯曲，射线参数也将发生改变，Beron-Vera F J等人[3-4]研究发现当环境与距离无关或轻微扰动时，射线理论可以用一个主要取决于环境和声速剖面的标量—射线稳定性参数α来描述。

简正波和射线虽为2种不同的声传播理论，但作为对同一声场的不同描述方法，两者之间必然存在内在的联系。在较早的文献[5-7]中一些学者如Tindle C T,Guthrie K M等人对简正波和射线之间的联系进行了大量的研究，指出当声场由一组简正波构成时，声场能量分布结构基本与中心简正波的“等价射线”一致，证明当射线与简正波临界角度相同时其跨距与简正波水平干涉周期相等。Brown等人[8]从哈密顿正则方程出发，证明了渐进简正波理论获得的简正波波导不变量与射线稳定性参数是等价的，在简正波和射线理论间建立了一个全新的联系。

本文在前人研究的基础上，针对与距离无关或者存在轻微扰动的海洋环境，利用射线与简正波之间的联系，从射线稳定性参数的定义出发证明了其与简正波波导不变量的等价性，即α=β。

1 主要理论[3,5-7]

1.1 射线跨距与简正波水平干涉周期

在简正波理论中，对于给定的声速剖面c(z)，水平距离r、深度z处的声压可以表示为：

(1)

式中：Ul是第l号简正波的深度函数；zs是声源深度；kl是第l号简正波的水平波数；r是水平距离。在WKB近似条件下，式(1)中汉克尔函数的相位φ可由下式确定：

(2)

当不同号简正波之间形成相长干涉时，其相位条件满足：

(3)

式中：ω是角频率；c是声速；Δφ是简正波相位变化；Δl是简正波号数变化；Δkl是简正波水平波数变化；对(3)式进行整理，可以得到r的表达式如下：

(4)

通常将2π/(Δk/Δl)定义为简正波的水平干涉周期，记作Dl。简正波水平干涉周期揭示了不同号简正波之间的干涉加强现象随距离的周期性出现。

在射线理论中，定义Dr为射线的水平跨距，即声线离开声源经过上下反转点再次返回声源深度时所经历的水平距离。对于出射角为χ0的射线，其经历的水平距离为：

(5)

(4)、(5)两式均描述了声能量传播的水平距离，对比两式发现两者具有完全相同的形式，因此：

(6)

上式在计算中一般取相邻两号简正波，即Δl=1，通常可省略下标，用D代表射线经历的水平跨距，因此(6)式也记作：

(7)

(7)式揭示了简正波与射线之间联系，即简正波水平干涉结构距离上的周期性与射线水平跨距相等，简正波相长干涉形成的能量包沿着射线路径传播。在下一节中本文直接利用此式将射线不变量与简正波波导不变量联系起来，并证明射线稳定性参数与简正波波导不变量间的等价性。

1.2 射线稳定性参数与简正波不变量

根据Brekhovskikh[7],在简正波理论中当波导宽度足够大，能够传播的简正波数目足够多时，根据WKB近似可以通过相位积分求解水平波数：

(8)

式中：k0是波数；kl是简正波的水平波数；n是折射率；z+和z-是上下反转点，又cosχ0=kl/k0，根据斯奈尔反射定律：

将上述关系带入(8)式中整理得：

(9)

可以看出，(9)式的积分是一个定值，其值随着简正波号数l变化而改变，在高频情况下简正波波数可以看作是连续的，因此(9)式中脚标l可以忽略，定义：

(10)

I称为射线不变量，由射线在一个完整的循环内积分求得，可以将射线在一个完整循环内经过的时间和距离联系起来，可反映声速剖面的变化特征。将(10)式代入(9)式得到：

Iω=h(常数)。

(11)

射线理论中，射线传播一个循环所经历的时间T和距离D分别为：

(12)

I=T-qD。

(13)

(14)

对(14)式分别关于q求导并进一步整理得：

(15)

(16)

结合射线不变量的定义，可知射线稳定性参数是一个仅取决于环境参数的量，其幅度变化特征反映了射线的稳定性[4]，本文在仿真部分也验证了这一点。

在海洋波导中，宽频声源的R-ω平面经常会表现出干涉条纹，这一现象利用简正波理论可解释为由多号声简正波相互干涉引起[9]。把频率、距离和干涉条纹的斜率定义为一个标量函数——波导不变量，这里不再赘述直接给出其定义式：

(17)

当环境与距离无关，两号简正波的波导不变量形式为：

(18)

下面将证明射线稳定性参数α和相邻两号简正波波导不变量β是相等的。

对(13)两边关于q求导并联立(15)式得：

(19)

式(19)给出了射线不变量和跨距之间的关系式，将简正波干涉周期和射线跨距的关系式(7)带入式(19)，可得到：

(20)

又由射线不变量定义式(11)可得：

(21)

将(20)、(21)两式分别代入(16)式得到：

(22)

可以看出(22)式与简正波波导不变量表式(18)完全相同，因此α=β。不同于文献[8]从声压的傅里叶变换出发，通过程函方程求解传播时间出发进行证明，本文在射线理论和简正波波导不变量已有的结论基础上，通过两者之间联系更简单直接的证明了α=β这一关系。

2 仿真研究

在本部分仿真研究中，射线模型采用Bellhop[10]程序，简正波由Kraken[11]程序计算。Tindle等[6]最早给出了射线和简正波等价的直观图像，受当时计算机水平和声学模型的限制，仅在r-z空间上部分不连续点给出相应图像。下面采用与之接近的环境参数进行仿真研究，声速剖面为典型深海Munk剖面，如图1中的case1所示。声道轴位于1 000 m处，声源频率为100 Hz，与文献[6]相同，式(1)中声场仅包含26～34号简正波分量。

图1 3种情况的声速剖面

图2(a)是以传播损失给出的声场结构，声简正波能量变化形成了明显的射线轨迹。图2(b)中实线为出射角与30号简正波临界角度相等的两条射线，可以看出声简正波能量变化的轨迹与射线十分吻合，很好的解释了“相邻简正波之间的相长干涉形成能量包，并沿着射线路径向前传播”[5]，证明了射线与简正波在描述声能量传播的等价性和一致性。简正波方法能够提供波动场的精确解，而射线可以给出直观的效果，在实际应用中两者优势的有效结合将会为分析声传播特性带来极大便利。

图2 26-34号简正波干涉声场

图3(a)～(c)分别是图1中case1、case2、case3三种声速剖面情况下的声线到达波至。声源位于声道轴，接收点距离声源1 000 km，射线出射角(上行、下行)χ0范围为1°～12°。图中实线和虚线分别代表上行和下行的射线。可以看出在1 000 km处3种情况下射线到达波至结构十分接近，整体结构随声速剖面差异变化而在时间轴上水平移动，射线到达时间都在666.5 s前后，射线到达的深度随着时间的推迟逐渐集中在声道轴附近。并且同一背景场下不同的射线到达时间差也不超过2 s，体现出射线远距离传播的时间稳定性。

图3 射线远距离传播到达波至图

图4 射线稳定性参数曲线α

图4所示为图1中3种声速分布情况下的射线稳定性参数变化曲线，射线角度范围1°～12°。由图1可知3种情况下声速变化在声道轴附近最明显，因而较小出射角射线即声线传播区域偏离声道轴较小的射线对应的射线稳定性参数差别较大，声道轴附近声速增大时，射线稳定性参数随之增大。随着射线出射角的增大，射线主要在邻近海面或海底水层内传播，三种情况下声速差异不大，对应α值间差距减小。可见不同环境下射线稳定性参数的变化不同，与波导不变量相似，在保持基本结构不变的前提下，依旧能够反映环境的微小扰动特征。

为进一步考察声速水平分布存在微小扰动时射线稳定性参数特性，声速分布如图5所示(case4)，以图1中case3声速剖面为背景声速，在200 km处引入由于冷涡的存在引起海洋环境水平方向上轻微扰动，声速扰动值最大为15 m/s。

图5 微小扰动的声速水平分布(case4)

图6给出了上述声速水平分布时的射线稳定性参数变化曲线。可以发现，环境发生微小扰动后小角度出射角射线对应的射线稳定性参数变化不大，出射角大于5度的射线稳定性参数变化则相对明显，但射线稳定性参数总体变化趋势与声速水平分布均匀时一致，表明射线稳定性参数总体变化趋势与背景声速场密切相关，射线稳定性参数偏离其总体变化趋势的扰动则反映了声速场水平分布上的微小不均匀扰动。对应射线稳定性参数大的射线对环境扰动更敏感。

图6 环境轻微扰动时稳定性参数曲线

图7 射线到达波至

图7是case3和case4两种情况的射线到达波至结构，虚线为环境存在轻微水平扰动后的射线到达波至结构，实线所示为环境水平无关时的射线到达波至，射线的角度范围同样为1°到12°。对比发现，两条射线到达波至水平结构基本相同，到达深度范围基本一致，可见射线到达波至结构主要受背景声速场影响。环境存在水平扰动以后射线到达波至在某些时刻产生明显扰动，图中标注的位置1是10°左右射线的到达时间，位置2是7.6°左右射线的到达时间，位置3是4°左右射线到达时间，这些时刻所对应射线出射角与图6中射线稳定性参数曲线的变化剧烈处一致。与到达波至相比可以发现，射线稳定性参数曲线因环境轻微扰动导致的变化更加清晰，更加灵敏，能够有效地反映射线传播过程中的变化，十分有利于判断环境的轻微水平扰动。

3 结语

经典的射线理论可以用于描述简正波的干涉场，结合波导不变量理论，利用射线跨距与简正波干涉周期相等，可简洁地证明射线稳定性参数与简正波波导不变量间的等价性。射线稳定性参数作为射线理论中的一个新的重要参数，将背景声速场和射线到达波至结构联系起来，可清晰描述海洋环境的变化对声传播的影响，并为射线和简正波理论建立了一个全新的联系。

仿真研究表明射线在远距离传播时到达波至结构相对稳定，与射线到达波至结构相比，射线稳定性参数的变化与海洋环境密切相关。当海洋环境存在轻微水平扰动时，射线稳定性参数能够有效、清晰地体现出来，在一定程度上用于分析射线传播的变化，与波导不变量一样，将在海洋环境监测方面得到广泛应用。关于射线稳定性参数随海洋环境的变化机理及应用，是下一步继续努力的方向。

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责任编辑 陈呈超

Ray Stability Parameter and Waveguide Invariants

CHEN Peng1, 2, LIN Ju1

(1. College of Information Science and Engineering, Ocean University of China, Qingdao 266100, China; 2. The Navy Radar and Sonar Workshop of Qingdao, Qingdao 266000, China)

Characteristics of underwater sound propagation can be effectively described by waveguide invariant based on normal mode theory, and by considering that range-independent environments or environments consisting of a range-independent background on which a weak range-dependent perturbation is superimposed, characteristics of sound propagation can be described using a new parameter-ray stability parameter. In this study, by analyzing the equivalency between interference pattern of normal modes and ray path with numerical simulations and applying the relation between the cycle period of normal modes interference structure in the horizontal direction and ray cycle distance, ray stability parameter is certified more simply to be equal to normal modes waveguide invariant, then the new relation between ray and normal mode theory is constructed. Theoretical study and numerical simulations show that ray stability parameter, a new parameter in ray theory, can be used to describe the variation of marine environment and the underwater sound propagation effectively compared with the travel time, even also can be applied in the acoustic inversion of marine environment parameters.

ray invariant; ray stability parameter; normal modes interference; waveguide invariant

国家自然科学基金项目(41176033)；国家重点基础研究发展规划项目(2007CB411803)；国家高技术研究发展计划项目(2006AA06Z114)资助

2014-01-20；

2014-06-10

陈 鹏(1988-)，男，硕士生。E-mail: ricepocket@126.com

❋❋通讯作者： E-mail：julin97@gmail.com

P733.2

A

1672-5174(2015)11-114-05

10.16441/j.cnki.hdxb.20140029