B—S期权定价模型为公司股票和债权定价

傅虹

摘要：著名的布莱克-舒尔斯期权定价模型成功为期权这一最复杂的衍生金融工具定价，他的提出最早可追溯到1973年，由美国芝加哥大学教授费雪·布莱克和梅隆·舒尔斯合作发表的《期权与公司负债定价》一文，这一难题的攻克引起了强烈的反响。随着期权理论的逐步发展，人们意识到生活中很多事物或者交易可以被转换为期权的思想。本文即将公司股票和债券视为基于公司资产的期权，从而利用B-S模型为公司股票和债券定价。

关键词：B-S定价模型；看涨期权；看跌期权；看涨-看跌平价理论

一、引言

正确地确定公司股票、债券等证券的内在价值是公司价值评估的核心。一般采用绝对定价法为股票和债券定价。具体来说即利用未来各期的现金流贴现值进行估价。表现为债券估价的基本模型：V=[∑nt=11（1+r）t]+F（1+r）n。普通股的当前价格则等于未来所有股利的现值，即P=∑∞t=0Dt（1+R）t。（特别的，当股利0增长时，有P=D/R，若股利以g常增长，则P=D1R-g）

上述表明，决定资产价值主要有以下三个因素：1）资产的预期现金流。但是这样的现金流预测即使在短期内有效，也存在无法估计长期情况的棘手问题；2）贴现率。这一指标反应的是货币的时间价值和现金流动的风险程度。我们可以根据CAPM得到合适的贴现率，但往往带有主观臆断；3）现金流发生的时期。再者，即使以上三个因素的获取都不存在问题，这种定价方法仍然存在未考虑公司价值及公司资本结构变动效应的缺陷。

本文中，我们利用期权的方法对公司股票和债券定价。首先我们应该认识到，公司股票和债券实际上可视为基于公司资产的期权（下文将给出具体解释）。我们可以利用经典B-S期权定价模型估价股票和债券，并讨论相关的性质。

二、B-S期权定价模型

期权属于较为复杂的金融衍生工具。其赋予持有人在特定的时间以特定的价格（即执行价）购买（看涨期权）或出售（看跌期权）标的资产的权利。常见的欧式期权只能在到期才能被执行，而美式期权可在到期日及之前的任何时间被执行。期权买卖双方权利义务的不匹配，使得期权买方需支付给期权卖方一笔合理的期权费。于是产生了关于期权公正价格计算的需要。B-S期权定价模型被认为最经典且符合实践的。当然，它的推导存在以下假定条件：

1）股票价格是连续的，股票价格服从对数正态分布。收益率服从正态分布

2）对应资产可以自由买卖、卖空

3）对应资产没有其他收入，如股息，也没有税收和其他交易成本

4）期权为欧式期权，到期前不可行使

5）以零风险利率融资，且为连续复利

经过严密的数学推导，最终的定价公式为：

C=SN（d1）-Xe-rtN（d2）——（1）

其中，C是欧式看涨期权的价格，S是股票价格，X为期权的执行价格，T是期权距到期日的时间，R为无风险利率，N（d1）和N（d2）表示累积正态密度函数，d1=ln（SX）+（r+12σ2）tσt

d1=ln（SX）+（r-12σ2）tσf=d1-σt

σ是股票价格的年化波动率。

另外，我们简单介绍下看涨-看跌平价理论。设计以下交易：1）卖出看涨期权，到期日t，交割价格X。2）买入看跌期权，到期日t，交割价格X。3）买入对应的标的资产。4）借入Xe-rt的资金。令C表示看涨期权价格，P表示看跌期权价格。则期初现金流为：C-P-S+Xe-rt。则到到期日，不论股票价格大于或者小于交割价格X，净现金流均为0，由无套利可知，初始的现金流也该为0。即：P= C-S+Xe-rt=SN（d1）-Xe-rtN（d2）-S+Xe-rt=Xe-rtN（-d2）-SN（-d1）

P+S=C+Xe-rt——（2）

由上述式子可知，期权的价格只和S，X，r，t，σ这五个变量有关，而前四个变量都可以通过数据观察得到，σ则可以通过历史的价格数据进行估计。投资者的风险偏好和股票的预期收益率没有出现在定价公式中，这正是期权定价方法不同于开篇所述的现金流绝对定价法的地方。

三、公司股票估值

从期权的角度看，公司股票可以被视为股东所持有的看涨期权，标的资产为公司资产，执行价格为公司债务。债务到期时，当公司资产的价值大于公司负债时，为实值期权，股东将执行看涨期权，支付债权人应得的部分。若资不抵债，则为虚值期权，股东将不执行权利，宣布公司破产。

现在，我们考虑到一个有负债的公司，其资本结構由权益资本和债务资本组成，设V（t）为此公司在t时刻的总价值，E（t）表示t时刻的权益资本（即普通股股票的价值），D（t）为t时刻的债务资本价值，根据MM定理有：

V（t）= E（t）+ D（t）

设T时刻公司的债务价值为B（T）= B（t）*（1+r）T-t（若公司发行债券为贴现债券，则B（T）即为发行债券时的票面价值），其中rb为借款利率，大于无风险利率r。V（T）为T时刻的公司总价值，它是不确定的，E（T）为T时刻权益的价值。我们假设债务在T时刻进行清算，则到期日T时，若V（T）B（T），根据上述分析的，股东将执行看涨期权，支付B（T）给债权人，可视为股东以B（T），即低于公司资产价值的价格向债权人买入公司。股东获得差额E（T）= V（T）- B（T），即公司股票价格在T时为V（T）- B（T）。相反，若V（T）B（T），即资不抵债（从看涨期权的角度看，为执行价格大于标的资产的虚值期权），股东不执行权利，宣布破产，将公司交予债权人，债权人获得公司价值V（T），而股东一无所获，此时股票的价值将等于0。综上所述，T时债券的价值等于Min[V（T），B（T）]，而T时股票的价值等于E（T）=Max[V（T）- B（T），0]。

可见，公司股票确实可视为基于公司资产的看涨期权，因此，其价值可以用B-S看涨期权定价公式估计为：

E（t）=V（t）N（d1）-B（T）e-r（T-t）N（d2）——（3）

其中

d1=ln（V（t）B（t））+（r+12σv2）（T-t）σvT-t

d2=ln（V（t）B（t））+（r-12σv2）（T-t）σvT-t

σv是公司資产价值的标准差，它反映了公司资产的风险程度。

四、公司债券的估价

根据以上对公司股票当前价值的估算，我们可以轻松得出当前债务的价值D（t）=V（t）-E（t）——（4）

由于股票可看成是基于公司资产价值的看涨期权，所以（4）式实际上是说公司债券价值等于公司资产价值减去资产看涨期权的价值。

另一方面，我们知道T 时债券的价值可表示为Min[V（T），B（T）]，它说明，从债权人的角度看，股东手里持有一个执行价格为B（T），到期日为T 的基于公司资产的看跌期权。具体来说，当清算T时，公司资产大于债务，此时看跌期权是虚值的，股东不执行期权，因而，持股人保留公司的所有权，但连本带利支付给债权人B（T）；倘若资不抵债，即V（T）B（T），股东将执行看跌期权，以B（T）卖出公司，然而还需偿还债权人债务也是B（T），即可视为持股人以放弃股本来换取债务注销，股东一无所获。这与以上按看涨期权来看待公司的分析是吻合的，股东的获利依然是Max[V（T）- B（T），0]。从看涨期权——看跌期权平价关系，注意到V（t）=E（t）+D（t），E（t）=C，我们有：

P+V（t）=P+E（t）+D（t）=C+B（T）e-r（T-t）=E（t）+ B（T）e-r（T-t）

即 D（t）=B（T）e-r（T-t）- P——（5）

P是看跌期权的价值，B（T）e-r（T-t）是公司债券约定支付的，以无风险利率折现的现值。（5）式说明公司债券的价值等于无风险债券的价值减去公司资产看跌期权的价值。因此可直接用B-S模型估计：

P=B（T）e-r（T-t）N（-d2）-V（t）N（-d1）——（6）

所以我们有公司债务当前估价

D（t）= B（T）e-r（T-t）-B（T）e-r（T-t）N（-d2）-V（t）N（-d）——（7）

这样不论是将股东视为持有看涨期权，算出E（t），再根据（4）式算出D（t），还是直接根据（7）式算出D（t），二者的结果应当是一致的。

五、结论

以上我们已经论证持股人和债权人既可以用看涨期权，也可以用看跌期权来看待，下表总结了这两种观点：

持股人债权人

以看涨期权看待时的状况

持股人拥有B（T）执行价格的公司看涨期权1债权人拥有公司2债权人向持股人出售看涨期权

以看跌期权看待时的状况

1持股人拥有公司2持股人欠债权人B（T）的利息和本金和3持股人拥有B（T）执行价格的公司看跌期权1债权人拥有B（T）的利息和本金的债权2债权人向持股人出售看跌期权

当然，我们也必须认识到公司证券和股票期权存在的不同。如公司证券的基础资产是公司的总价值。持有者除了可以从企业那里获得支付，还具备通过股息政策、融资政策和投资政策的改变来变动公司证券的价值的权力，这都是股票期权所没有的。另外，本文中根据B-S模型的估价是受到B-S模型假设前提条件的限制的，比如，B-S假设标的资产是无收益的，实际上公司拥有的资产是可以给我们带来收益的。此外公司需要缴纳公司所得税，股东和债权人也需要缴纳个人所得税，实际上我们无法要求无交易成本和税收的限制等等。但是撇去这些，本文所论述的方法还是具有一定意义的。（作者单位：福州大学）

参考文献：

[1]郑振龙，陈蓉.金融工程.北京：高等教育出版社

[2]斯蒂芬A.罗斯，伦道夫W.威斯特菲尔德，杰弗利F.杰富.公司理财，机械工业出版社