WXL插值样条

王修礼

【摘要】不采用x作为自变量而采用间接参数t作插值函数，计算型值点权重，得到一种新的插值方法，WXL插值样条，由连续4个型值点得出中间一段唯一的插值结果，型值点不受单调增加限制，插值通过给定型值点且一阶导数连续，平面上4个型值点循环插值可以得到一光滑椭圆形曲线，在水轮机等效率曲线绘制使用得到比较理想的效果.

【关键词】分段插值;通过型值点; 一阶导数连续;新插值样条;光滑连续曲线;绘制特性曲线

引 言

在水轮机能量性能试验中，要通过计算机自动绘制出等效率曲线及其他性能曲线.通过试验可以得到一系列等效率点数据，绘成曲线有的是开放的有的是闭合的.对于绘制闭合曲线的基本要求是：

1.插值点通过所有给定的型值点，在型值点处不产生误差;

2.型值点不受单调增减的限制，可以形成闭合曲线;

3.一阶导数连续，保证曲线的光滑性.

4.曲线的凹凸性符合型值点趋向.

在插值计算中，有多种方法，如多项式插值、Hermite插值、样条插值、有理B样条插值等，都采用x作为自变量进行计算，采用函数就会遇到自变量x单调增加或单调减少的限制，有时不得不采用分段进行插值.现在常用的Hermite 三次样条可以进行开放曲线的插值，但受到单调增减的限制;有理B样条插值，可以得到光滑的曲线，但不是每个型值点都通过.有许多文献介绍了不同的插值方法，但得到的曲线形状都不是太理想.基于以上要求和现行的插值方法，希望从不同的角度找出一种新插值方法，以满足要求，且不需要太大的计算量.

一、新插值样条——WXL插值样条

1.采用样条进行插值，且自变量不是x，而是采用间接变量t，[0≤t≤1]，给出t的插值函数，对插值点的x 和y分别计算出各型值点的x和y的权重，得到所插点的x和y值.

2.给定4个连续型值点，确定中间一段插值，该段插值与其他点无关.

3.满足引言中提到的4项基本要求.

通过长时间（从1996年开始考虑）的探讨和改进，终于找到了一种间接插值函数.

给定点： P（i）=[X（i），Y（i）]，i=1，2，3，….

插值点：SP（i）=[SX（i），SY（i）]，i=1，2，3，…，S.

SX（i）为点P（i+1）到点P（i+2）之间的X插值.

SY（i）为点P（i+1）到点P（i+2）之间的Y插值.

插值函数表达式为：

SX（i）=∑i=4i=1Ri* X（i），i=1，2，3，4.（1）

SY（i）=∑i=4i=1Ri* Y（i），i=1，2，3，4.（2）

其中Ri为插值因子函数，是WXL插值样条的关键.

Ri=fi（t），i=1，2，3，4.

对于X和Y都采用相同的插值fi（t）.

具体的插值函数fi（t）的表达式暂不列出.给出Ri随t的变化规律见图1.

图1 Ri/Rimax随T的变化规律

二、WXL插值样条的使用

给定M个型值点P（i）后，用WXL插值样条进行插值计算时，由于是每4个型值点确定中间一段插值，插值段数比给定的型值点数少两个，还需求补充两个边界条件才能完成整个曲线插值.遇到的两种情况，采用不同的处理方法.

1.给出的型值点要求完成的插值曲线是开放式的.将给定的M个型值点的第一个和最后一个进行双重处理，得到（M+2）个型值点，进行插值后得到M段插值，完成整个插值曲线.

即：给定的型值点为：

P[X（0），Y（0）]，P[X（1），Y（1）]，P[X（2），Y（2）]，…，P[X（i），Y（i）]，…，P[X（M），Y（M）]，共M个点.经以上处理后变为：

P[X（0），Y（0）]，P[X（0），Y（0）]，P[X（1），Y（1）]，P[X（2），Y（2）]，…，P[X（i），Y（i）]，…，P [X（M），Y（M）]，P [X（M），Y（M）]，共（M+2）个点.

3.给出的型值点要求完成的插值曲线是闭合式的.在给定的M个型值点的第一个之前加进最后一个型值点;在最后一个之后加进第一个型值点，得到（M+2）个型值点，进行插值后得到M段插值的闭合曲线.给定的型值点为：

P[X（0），Y（0）]，P[X（1），Y（1）]，P[X（2），Y（2）]，… P[X（i），Y（i）]，…

P[X（M），Y（M）].共M个点.经处理后变为：

P [X（M），Y（M）]，P[X（0），Y（0）]，P[X（1），Y（1）]，P[X（2），Y（2）]，… P[X（i），Y（i）]，… P [X（M），Y（M）]，P[X（0），Y（0）].共（M+2）个点.

三、WXL插值样条的性质

1.连续性

插值因子函数Ri=fi（t），i=1，2，3，4，为连续函数，改变间接变量t的步长可以得到所需要的插值点数.

2.过型值点

从插值因子值表1可以得出，在某一插值段插值结束时，即t=1时，R3=1，其他因子值均为0，插值为该段第三点的值;而在随后的插值段值插开始时，即t=0时，R2=1，其他因子值均为0，插值为第二点的值，也就是上段第三点的值，插值通过该点.

3.唯一性

4个型值点确定唯一一段（中间两点之间）插值，无论插如多少点，曲线形状不变.

4.很强的外凸性

通过插值的图形可以看出图形有很强的外凸性，这对单调曲线插值不利，但在作逼近（用梯形面代替积分）计算时有利.

5.权 性

满足∑i=4i=1Ri=1.

图2显示的是平面上4点，P1（4，3），P2（-4，3），P3（-4，-3），P4（4，-3），通过插值（插入9个点，本文所有插图都是按9个点插值给出）计算后的椭圆图形.

图2 4个型值点插值后的椭圆图形

6.一阶导数连续

分别对函数表达式（1）和（2）对自变量t进行求导，即分别对插值因子函数Ri对t进行求导，得到一阶导数：

y′=∑i=4i=1 SY′ （i）t/ ∑i=4i=1SX′ （i）t，i=1，2，3，4，….（3）

表2给出根据插值因子函数fi（t）的一阶导数计算出的导数插值因子（每段插值3个点，t的步长为0.25，保留4位小数）.

通过计算可得，在某一插值段插值结束时，即t=1时，左导数与随后的插值段值插开始时，即t=0时，右导数相等，斜率值为该点的前后两点的y增量与x增量之比.这个导数值是插值方法所希望得到的值.

7.插值不越界

计算可得，结合在型值点的导数性质，可得由P1（-8，-4），P2（-6，0），P3（2，1），P4（4，-2）所确定的插值P2到P3段，插值点都处于过P2点的直线（斜率与P1和P3连线相同）与过P3点的直线（斜率与P2和P4连线相同）相交点及P2，P3点所形成的区域内.见图3.该性质保证插值结果的稳定性，不会造成插值超差.

图3 插值点在固定区域内

8.与插值方向无关

给定一系列的型值点，从开始到结尾插值或从结尾到开始点插值，得到的结果完全相同，得到的是唯一的一条插值曲线.

9.二阶导数不连续

仿照一阶导数的方法求出二阶导数的插值函数，计算出二阶导数值，在型值点处左右导数不同，即二阶导数在型值点处不连续.中间插值二阶导数是连续的.

10.几何不变性

平移或旋转型值点后，得到的图形形状不变，与坐标系的选择无关.

图4显示平面4点，P1（-5，-3），P2（0，6），P3（5，3），P4（0，0），经过45°旋转后再平移10，前后形状对比，图形本身形状不变.

图4 图形几何形状保持不变

11.直线保持性

给定的4个型值点共线，插值段也保持共线.

12.多维插值性

由于是通过间接变量t进行计算，可以同时对多维参数进行插值.例如在水轮机模型试验中，同一工况点有单位转速、单位流量、单位功率、效率等多个参数，要求出在某一效率下的其他参数值，只要把该效率值所对应的某插值段的t值求出，就可以按该t值计算出其他所有参数的对应值，不用像以往分别进行效率对各个参数的插值计算.

四、插值结果图形分析

1.平面4点循环插值图形与椭圆线的比较

（1）图2中所得到的插值点与对应椭圆公式（x2/5.5872）2+y2/（4.2426）2=1）的计算点完全相同，并保持椭圆长短轴的坐标方向相同.

（2）计算各点的一阶导数与根据椭圆公式求导所得的导数值也完全相同.

（3）但是若增加型值点数（在椭圆线上的点），得出的插值点值和一阶导数值就不完全与公司计算的相同了，在t=0.5时偏差最大.图5 显示在半个椭圆上4个型值点插值后的曲线与椭圆线的对比.

图5 半椭圆插值（4点）与椭圆线比较

2.与Hermite 三次样条比较

Hermite三次样条在现行的插值领域已经得到广泛的使用，但使用中受到一些限制.

（1）Hermite三次样条每段都是一元三次函数，型值点必须是单调增减（或减少），否则计算出错，遇到型值点返回时，只能采用分段进.

（2）行，这样在分段点处导数就不连续了.而WXL插值样条是采用间接变量t作自变量，分别对x，y进行计算，型值点可以任意增减.

（3）Hermite三次样条在给定的型值点较多时，计算量很大，但现在计算机的发展，这个问题已经不困难了.而WXL插值样条计算量很小，每4个点确定一段插值，计算量不随型值点的增加而增加.

（4）在型值点出Hermite三次样条二阶导数连续，而WXL插值样条不连续，但有很强的外凸性.

（5）Hermite三次样条有时会产生插值越界现象，这对插值计算和不利，越界现象出现的规律还不好掌握，而WXL插值样条没有越界现象，插值稳定，是比较理想的.

3.与有理B样条比较

在AUTOCAD和Excel中都采用有理B样条，通过控制偏差进行逼近和拟合，优点是曲线光滑，不受型值点单调增减限制，不会产生插值越界现象，缺点是除开始和结尾两点外其他点有微小偏差，在中间的插值偏小.取单位圆上的4个坐标轴点，分别用AUTOCAD的“Spline”拟合和用WXL插值样条插值，两者比较可以看出，WXL插值样条与单位圆完全重合，“Spline”拟合的曲线在两点中间产生偏差，其值与圆的半径之比为0.0173.图6表示对比结果.

图6 “Spline”拟合线与WXL插值样条线

五、绘制水轮机等效率曲线

在水轮机模型试验中，等效率曲线是很重要的，等效率线的绘制是将某一等效率值下的一系列工况点（即对应各个导叶开度下的单位流量和单位转速值）光滑连成曲线.效率的综合误差一般为0.25%，等效率线拟合时方法不当，造成的偏差有时会大于综合误差.现大多采用Hermite三次样条分段进行，得到的结果不是非常理想.图7是某混流式转轮用现行方法绘制的等效率曲线.

图7 一混流式转轮等效率曲线

采用WXL样条对中心三条等效率线进行插值，得到结果见图8.

图8 WXL样条等效率线

从插值曲线结果可以看出，在每段的插值点都有外凸的趋向，使得曲线不是很光滑，但总体效果还是比较理想的.

六、在其他领域的使用

由于WXL插值样条不受型值点走向的限制，曲线光滑连续，在绘制地图等高线、计算机图形仿真、断面近似逼近计算等都可以采用，相信可以得到比较理想的结果.

七、结 语

采用间接变量计算4点权重进行插值计算的WXL插值样条，不受型值点单调增减的限制，具有良好的光滑连续等优良特性，在水轮机综合特性曲线绘制使用效果理想，可以在许多需要插值计算领域推广采用.

【参考文献】

[1]作者： wt，chapter3-34_2004，B样条曲线与曲面，清华大学，计算机图形学.

[2]谢进.有理三次Hermite插值样条几千逼近性质.工程数学学报，2011（3）.

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[5]韩继伟.不同插值方法绘制断面图效果分析.JOURNAL OF CHINA HYDROLOGY，2012年2月.