关于初等函数概念的若干注记

杨丽霞 徐裕光

【摘要】初等函数的概念是微积分中重要的基本概念，它的一般定义是“由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合步骤所得到的函数为初等函数”.但在对待初等函数这个概念与之相关的一些问题上，存在一些模糊的认识.本文通过构造若干实例讨论了这些问题，可供教师教学和学生学习时参考.

【关键词】初等函数;分段函数;无限次四则运算;无限次复合运算

一、初等函数与分段函数

教材[1]在介绍初等函数概念时断言“不是用一个式子表示的函数，就不是初等函数”.通常，分段函数在其定义域的各个部分上用对应的解析式表示函数关系，有时是不能用一个解析式表示函数关系，有时却是为了使函数关系更为明确，才表示为分段函数的.

例1 f（x）=x  x≥0，

-xx<0.

函数f（x）的上述表达式是分段函数形式，但f（x）的等价表达式

f（x）=x2=x x∈R

却清楚地表明它是定义在实数集上的初等函数.

例2  g（x）=1  x>0，

-1x<0.是定义在上的分段函数.g（x）在R上有一间断点x=0，但 g（x）的另一等价形式：g（x）=x2x，表明g（x）是初等函数.

例3 函数 D（x）=1 x∈[0，1]且为有理数;

0 x∈[0，1]且为有理数.

它不是初等函数，并不是因为它是分段函数，原因在于D（x）在定义区间[0，1]上处处不连续，而初等函数在其定义区间上应当是连续的（参见[2]）.

所以，函数的分段表示并不能用来判断是否为初等函数的依据.因函数的分段表示在数学问题或其他应用问题中有其特殊的方便之处.如果没有分段函数，像D（x）这样简单的Lebesgue可测函数的解析表达就遇到困难了.

二、初等函数与无限次四则运算

依照初等函数的定义，基本初等函数通过有限次四则运算产生初等函数，那么基本初等函数无限次四则运算的结果是否为初等函数？这个问题需要作两方面的讨论.

一方面，基本初等函数无限次四则运算的结果可以是初等函数，如：

例4 ex=1+x+x22！+…+xnn！+… x∈R.

例5 11-x=1+x+x2+x3+…+xn+… |x|<1.

这两个例子有一点细微的差别：例4中的函数 f（x）=ex 的定义域与其幂级数展开式中每一项的定义域同为R，例5中的函数g（x）=11-x的定义域受到限制，而和其幂级数展开式中每一项的定义域不同.

另一方面，基本初等函数无限次四则运算的结果可以不是初等函数.

例6 设有一列定义在区间[0，1]上的基本初等函数如下：

f1（x）=x，f2（x）=x2， f3（x）=x3，…，fn（x）=xn，….

其前n个函数的乘积为初等函数：

Fn（x）=f1（x） 瘙 簚 f2（x） 瘙 簚 f3（x） 瘙 簚 … 瘙 簚 fn（x）=xn（n+1）2.

但其无限个函数的乘积：

F（x）=limn→∞Fn（x）=0 0≤x<1;

1 x=1

不是[0，1]上的初等函数，因为它在定义区间上不连续.

三、 初等函数与无限次的复合运算

基本初等函数在有限次复合运算下生成初等函数，那么在无限次复合运算下是否生成初等函数？这个问题也需要作两方面的讨论.

一方面，一个初等函数经过无限次复合后可以是初等函数.

例7 设有初等函数f（x）=45（x+4）-4，x∈R.

因为：

f2（x）=f[f（x）]=452（x+4）-4，

f3（x）=f[f2（x）]=453（x+4）-4.

使用数学归纳法，我们有：

fn（x）=f[fn-1（x）]=45n（x+4）-4，x∈R，n∈N.

函数的这种复合方式被称作f（x）的n次迭代.于是当迭代次数无限增加，即复合步骤为无限时，

F（x）=limn→∞fn（x）=-4，x∈R.

显然，F（x）是初等函数.

另一方面，初等函数经无限次复合步骤后结果可以不是初等函数.

例8 设有初等函数f（x）=x2，x∈[0，1].因为：

f2（x）=f[f（x）]=x4，f3（x）=f[f2（x）]=x8，…，

我们有：

fn（x）=f[fn-1（x）]=x2n，x∈[0，1]，n∈N.

于是，当复合次数无限增加时，则

F（x）=limn→∞fn（x）=0 x∈[0，1）;

1 x=1.

显然，F（x）在其定义区间上并不是连续函数，因此它不是初等函数.

其实，数学研究中经常用积分来表示非初等函数，如：

∫e-x2dx，∫dxlnx，∫x1sinttdt.

初等函数类是微积分研究中最基本的对象，初等函数概念是微积分研究中的基本概念.对这个概念的讨论，有利于澄清一些对于初等函数概念的模糊认识，有利于提高学生对微积分的学习，有利于学生对数学的严谨性和科学性的认识.

【参考文献】

[1]中央电大经济数学编写组.经济应用数学基础[J].中央广播电视大学出版社，1991.

[2]复旦大学数学系.数学分析[J].复旦大学出版社，2003.