一道积分不等式的证明和改进

朱树海

【摘要】本文通过考察一道积分不等式的几何意义，给出该不等式的多种证明，并以此为基础，弱化不等式的条件，提出了更具有广泛应用的两个积分不等式.

【关键词】积分不等式;连续;单调递减函数

积分理论是微积分学的一个重要内容，积分不等式的证明是常见问题，它在高等数学中起到重要的作用，在数学分析、概率论和泛函分析中都有所涉及，这就使得积分不等式的问题显得尤为重要.积分不等式的学习对培养数学思维、逻辑思维能力起着非常重要的用.积分不等式的证明同大多数高难度数学问题一样，没有固定的模式，证法因题而异，灵活多变，技巧性强，因此在学生学习过程中经常难以把握证明的思想方法.本文就一道常见的积分不等式分析如下：

积分不等式 设f（x）在[0，1]上连续且单调递减，对α∈（0，1），则有

∫α0f（x）dx≥α∫10f（x）dx.

给出几种证明方法，并以此为基础，弱化不等式的条件，提出了更具有广泛应用的两个积分不等式.

一、积分不等式的证明

1.利用积分换元

由于f（x）在[0，1]上连续，故令x=αt，则

∫α0f（x）dx=∫10f（αt）d（αt）=α∫10f（αx）dx.

又因为f（x）在[0，1]上单调递减，且0<α<1，故f（αx）≥f（x），所以

∫10f（αx）dx≥∫10f（x）dx.

因此

∫α0f（x）dx=α∫10f（αx）dx≥α∫10f（x）dx.

2.利用函数单调性

构造辅助函数

F（α）=1α∫α0f（x）dx，α∈（0，1）.

由于f（x）在[0，1]上连续，因此∫α0f（x）dx关于α可导，故

F′（α）=f（α）α-∫α0f（x）dxα2=∫α0f（α）dx-∫α0f（x）dxα2.

又因为f（x）在[0，α]上单调递减，故f（α）≤f（x）（x∈[0，α]），因此

∫α0f（α）dx≤∫α0f（x）dx.

所以

F′（α）≤0，α∈（0，1）.

故F（α）在（0，1）单调递减，并且可扩展到在（0，1]上单调递减，所以F（α）≥F（1）.

因此

1α∫α0f（x）dx≥∫10f（x）dx.

即

∫α0f（x）dx≥α∫10f（x）dx.

3.利用二重积分

将积分不等式两边转化为二重积分

∫α0f（x）dx=∫10dy∫α0f（x）dx=D0f（x）dxdy+D1f（x）dxdy，

α∫10f（x）dx=∫α0dy∫10f（x）dx=D0f（x）dxdy+D2f（x）dxdy.

其中各积分区域如图所示：

D0=[0，α]×[0，α]，

D1=[0，α]×[α，1]，

D2=[α，1]×[0，α].

又由于f（x）在[0，1]上单调递减，故在D1内，有

f（x）≥f（α）;

在D2内，有

f（x）≤f（α）.

而易知区域D1和D2的面积相等，因此

D1f（x）dxdy≥D1f（α）dxdy=D2f（α）dxdy≥D2f（x）dxdy.

综上可知原不等式成立.

二、不等式的改进

由以上证明过程可见，可以将限定区间[0，1]进行适当修改，使得积分不等式更具有应用性.

定理1 设f（x）在[0，M]上连续且单调递减，对α，β∈（0，M），若α≤β，则有

β∫α0f（x）dx≥α∫β0f（x）dx.

Remark：该定理中的积分不等式形式对称，几何意义明显，可仿造上述方法证明，只需将1变成β即可.当然还有很多证明方法，详见文献[2].

从定理1和定理2的证明中可看出，函数f（x）连续这一条件至关重要，上述证明方法都是建立在这一条件的基础之上，这也势必使得该积分不等式的应用受到一定的限制.我们自然会考虑是否可以将上述积分不等式中函数f（x）连续去掉，弱化条件，使不等式的应用更具广泛性？研究发现是可行的，我们可以得到如下结论：

定理2 设f（x）在[0，M]上单调递减，对α，β∈（0，M），若α≤β，则有

β∫α0f（x）dx≥α∫β0f（x）dx.

证明 由于f（x）在[0，M]上单调递减，故对α，β∈（0，M），积分∫α0f（x）dx和∫β0f（x）dx存在.由于

∫β0f（x）dx=∫α0f（x）dx+∫βαf（x）dx，

故只需证

β∫α0f（x）dx≥α∫α0f（x）dx+α∫βαf（x）dx.

即

（β-α）∫α0f（x）dx≥α∫βαf（x）dx.

由于f（x）在[0，M]上单调递减，故

当x∈[0，α]，f（x）≥f（α），

当x∈[α，β]，f（x）≤f（α），

所以

（β-α）∫α0f（x）dx≥（β-α）∫α0f（α）dx=α（β-α）f（α），

α∫βαf（x）dx≤α∫βαf（α）dx=α（β-α）f（α）.

因此

（β-α）∫α0f（x）dx≥α（β-α）f（α）≥α∫βαf（x）dx.

由上述分析可知，原不等式成立.

【参考文献】

[1]邵剑，李大侃.微积分专题梳理与解读[M].上海：同济大学出版社，2011：145.

[2]马德炎.抽象与具体函数积分不等式的证明[J].高等数学研究，2003（4）：37-40.