求解函数极限的方法

肖柏文

【摘要】高等数学教学中，函数极限求值方法教学是难点，同时也是重点.而且，数学函数极限知识内容比较枯燥，会导致很多学生不愿意学习极限函数.文章分析了极限函数教学障碍，以及如何改进教学方法，提高教学质量.

【关键词】极限函数;数学;求值方法

一、前 言

高等数学是理工学生和数学专业必修的课程之一，在高等数学中，函数极限知识是微积分知识核心部分.如果学生的函数知识不牢固，这样必然会影响到整个数学学习过程.而且，极限函数不同于文史类知识，它们没有生动的语言，没有灵活的想象平台，而是枯燥的函数极限知识，这直接影响学生对该类知识的学习，随着时间的推移，学生无法提起学习兴趣，从而影响到教学效果.

二、造成学生函数极限学习障碍和解决方法

（一）教学环境影响

高中数学是主科，在课程设置中一般都安排得比较密集，时常会出现一天都有数学课.面对应试，数学课程的学习时间是比较长的，教学力度也是相对大的.这样的课程安排会使得学生倍感压力.很多学生一天下来都是在数学的海洋中，各种知识的纠结，各种解题方法的求解.学生学习数学不是因为兴趣爱好，而是为了应试，这样的函数极限学习效率会低下.而进入大学，高数学习环境轻松，课程时间安排不太紧密.

（二）教学方法问题

很多教师在进行极限函数教学时，一般都是在课程之间时间讲解概念含义，引入例子，再根据例子解答，然后课程布置学生几道相关的题，让学生尝试解答，最后教师再讲解.这样的教学方法，教师占据的课程时间比较多，教师是课堂的主体，学生缺少思考的空间.有的学生基础知识比较差，对于教师的讲解理解难度大，教师没有针对性地教学，没有给学生思考的空间，没有因材施教，必然会影响教学效果.

（三）解决高校学生函数极限学习障碍的对策

第一，教学方式上遵循教学规律.任何新知识的学习都要遵循循序渐进的过程，对大一新生来讲，极限与微积分知识的学习，教师可采用渐进式教学，不求一步到位.用“动”来代替“静”，也即用动态来定义极限的概念，用作图的方式来理解“无限趋近”.教学尽量用多媒体课件展示动态，使学生在学习过程中逐步体会常量与变量、有限与无限、近似与准确、动与静、直与曲的对立统一，这样才能更好地培养学生学习能力，才能帮助学生养成良好的数学学习习惯，学生在今后的学习中可以使用辩证思考的思维解答习题.第二，教学方式直观简明化.函数极限学习理当坚持多学多练之原则，在练习过程中学生加强对数学概念的理解以及对知识的掌握.对于教师而言，应该精讲多练，应该降低理论讲解、抽象讲解.理当拿出实例来证明极限.学生也可以尝试作图，使用作图去辅助解答习题，从观察函数的左右近似值去判断极限是否存在.这样的教学方法能够锻炼学生的归纳能力以及学生的推算能力.教师充分地考虑了学生接受能力，而且能够兼顾教学需求，掌握该教学原则，从而帮助学生喜爱上数学学习.第三，教学中增加应用实践因素.教学理论使用于实践基础上，让理论在实践中得以发挥出来，这样的学习方式才会显得比较有意义.学生的学习积极性和主动性才会跳动起来.一般而言，函数极限知识在生活中都能运用到，教师在进行教学时，涉及的内容应该通俗易懂.可以将生活中常见的机械极限、运动极限以及生理极限引入课程中，使用故事的方式作为开头进行讲解，这样才能激发学生学习兴趣.同时，在进行课程学习之前，进行预习和课外知识的拓展都是非常有必要的.学生课前预习，能够对于所学的知识及时地进入到了解的状态，这也是进行学生兴趣培养之关键.

三、 高数中函数极限求解方法

（一）利用极限的描述性定义

在进行教学中，教师将极限的描述定义如下：如果自变量的绝对值|x|无限增大，那么在条件不变的情况下，函数值f（x）也会有和常数A无限地接近，这个时候就可以称当x值逐渐趋向无穷函数时，x以A为函数极限.或者是x缩小到A，这样就可以记录为“x-A（x→∞）”.经过上述的描述方式进行函数期限数值求值时，该方法比较简单.不同类型基础的等级函数可以进行描述性定义.另外，还可以和图像结合，这样就可以得出参数值.想要进行复杂函数求值，需要在掌握基本初级函数求值基础知识.但是在求值过程中，比较容易被混淆，因此，要多加注意.

（二）用两个重要极限求解

重要极限sinxx中，sinx和x是两个类型完全不同的X数，但是却可以通过该极限促使三角函数和一次函数之间建立起函数关系，将两者进行比值就可以求解.而且极限使用范围非常广泛，可以解决一些现实的问题.在很多高等数学中，极限求值问题可以将其化为极限求值，但是当学生在借助重要极限进行函数极限求值时，这个使用需要充分掌握极限的形式以及特点，只有这样才可以将极限求值进行化解，使得极限形式一致.例如：limx-0sinxx=1，limx-0（1+x）1x=e.

（三）利用极限的等价定理

这里讲解到的等价定理，主要是单侧极限以及双侧极限之间的关系定理，这种求值方法比较特别，在进行求解时，一般比较合适使用于分段函数中.利用极限的存在性定理.极限的存在定理，主要有两个定理，而且是比较常用的两个.第一是夹逼定理，第二是单调有界数定理.这两个定理是使用于数列极限以及函数存在性证明的，有的时候也可以将其使用于极限求值中，尤其是数列极限问题求值.例如：

limx→0tanx-sinxsin3x的极限.

limx→0tanx-sinxsin3x=limx→0sinxcosx-sinxsin3x=limx→0sinx（1-cosx）cosxsin3x=limx→02lim2x2sin2x=lim2×14

sin2x2x2

2xsinx2=12.

这样就可以轻松的求出函数值.

四、高数教学方法

（一）主体式教学方法

主体式教学方法来源于美国头脑风暴教学法，这种学习方式相对于简单的个人学习，获得学习效果会更加明显.具体做法是，教师要选择出合适的教学素材，选择合适的学习伙伴，学习伙伴针对当前教学问题提出异议，提出自己的观点.教师根据学生的观点再进行总结.极限函数数学教学中，主体式教学方式需要教师合理利用，这样获得的教学效果会更加明显.这种教学方式能够激发学生学习兴趣，使得学生学习获得创造性思维.首先，教师应该做好材料选择工作，然后再进行分组讨论，这样可以获得良好的教学效果.需要注意的是，主体式教学方法应该需要获得一个平等和民主课堂教学氛围，作为初中数学教师，需要学生在课堂中充分地表达自己的观点，教师要尊重学生的观点，使得学生在思维上获得更大思维空间.教师要充分利用学生思维见解不同之处，基于无错原则进行评价学生发言.

（二）培养学生参与意识

学生参与课堂教学，使得课堂变得活跃，教师教学积极性也提高，学生学习积极性也得到激发.在教师暗示或者提示下，学生自己去发现问题寻找出问题所在.找到问题根源之后，需要选择出应对方法.一般而言个人发现的问题和小组发现的问题都不相同.不论怎样需要明确这些问题重要性，通过课程教学解决问题.另外，学生应该明确自身的学习任务，该课程传输的知识，在课程学习中自己学到了哪些知识，这些知识对自己有何用处.当获得了课程知识之后，需要分享知识，倾听其他同学的学习心得，最后汇聚成结论.

（三）概念教学方法

极限函数数学概念可以识别一类数字的共性，对此作出不同的感性，这一学习过程就是概念学习过程.概念学习最明显的特点是要抽取出一类对象，这些对象有着共同的特性，进行辨别学习过程中，就是识别一类对象不同特性之过程.这两者是有区别可言的.但是，进行极限函数数学概念学习时，共性抽象是需要在一定的区分范围内的，因此要求学生要有区分能力.这也是学习概念前提.众所周知，数学研究对象，这是实现数量关系以及空间形式最有效的方式.数学概念可以清晰地反映出这个对象的本质和属性，可以将数学概念学习表示为一种思维形式.数学概念具有抽象和具体的双重性.数学概念可以反映出事物数量关系以及空间形态之间的本质属性，它属于思维形式.极限函数数学概念的使用，可以抽象地将事物内在的联系表现出来.一般而言，这些抽象的具体事物一般都会离开物质内容，附于数学概念基础上进行多层次的抽象升级.

结束语

另外，还可以使用四则运算方法，不过四则运算方法是最为基础的方法.该方法的使用和结构良性知识比较相近，在实际使用过程中可以直接求解.总而言之，数学函数极限，地位非常高，在进行函数极限学习时，理当基于把握教学方法基础上开展教学.

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