芝诺悖论

蒋明玉

什么是悖论呢？悖论也叫逆论或者反论，悖论的定义可以这样表述：以一个被承认是真的命题为前提，进行正确的逻辑推理后，得出一个与前提互为矛盾命题的结论。那么这个结论就是一个悖论。

芝诺悖论主要有两分法悖论、阿基里斯（Achilles）悖论等。

芝诺的两分法悖论是这样的：

物体在到达目的地之前必须先到达全程的一半，这个要求可以无限进行下去，所以，它永远到不了终点。

芝诺还提出一个阿基里斯悖论。

阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄，在阿基里斯和乌龟之间展开一场比赛，乌龟在阿基里斯前头1000米的位置，两者同时出发，但阿基里斯的速度是乌龟的10倍，比赛开始，当阿基里斯跑了1000米时，乌龟仍然在他前头100米，而当阿基里斯又跑了100米到达乌龟前次到达的地方时，乌龟又向前爬了10米……阿基里斯将会不断地逼近乌龟，但他永远无法赶上它。

同学们，看到这里，你们或许要惊叹。明明是错的或者不可能的事情，怎么在芝诺的推论下又似乎无懈可击呢？

其实，不光是你们被弄糊涂了，数学家也为芝诺的论断争论不休，芝诺的论断显然与常理相悖，由于当时人类只有粗糙的无限观念，数学家曾经错误地认为：无限多个很小的量，其和必为无限大，芝诺正是巧妙地钻了这个空子，把有限长的线段分成无限多个很短线段，把有限的时间分成无限多段很短的时间，芝诺的“阿基里斯与乌龟赛跑”问题，无疑是向当时错误的无限观念提出了挑战，数学家感到数学面临着潜在的危机！

后来人们终于弄清楚，要克服上述危机，需要一场观念上的革命，无限多个很小的量的和，未必是无限大！

练一练

传说古希腊人爱瓦梯尔向普洛太哥拉斯学习辩术（另有一说是学习法律），他们的约定是：爱瓦梯尔先付一半学费，另一半学费等学成后在第一场辩护胜诉时再付，如果败诉，则学费不必再付。

但是爱瓦梯尔毕业以后，没有担任辩护工作，不打算付另一半学费。

普洛太哥拉斯准备告他，对他说：“如果我胜诉了，法官会判你付我学费；如果我败诉，根据约定你还是要付我学费，总之要付，”爱瓦梯尔则说：“如果我胜诉，法官会判我不付学费；如果我败诉，按照约定我也不必付另一半学费，总之不付。”

请你们思考一下，他们谁说得有道理？

责任编辑：胡云志

名人名言

我不应把我的作品全归功于自己的智慧，还应归功于我以外向我提供素材的成千上万的事情和人物。

——歌德