直线的另一种定义方法

郎林华

【摘要】本文利用空间圆点的定义给出了直线的另一种定义方法，并作出了相应的证明.

【关键词】空间圆点；直线；旋转

一、空间圆点的定义及证明

1.空间圆点的定义

在空间内任取两个不重合的定点O1，O2，取一条过O1，O2的线a，并在线a上任取一点A，使线a绕O1，O2做定形旋转，当点A形成的轨迹是空间圆时不必再算，当点A的轨迹是点时，这个点A就叫作空间圆点，也叫作O1，O2的空间圆点A.如图，定点O1，O2，线a以及线a绕O1，O2做定形旋转时产生的线a′，线a上的点B，C和点B点、C分别产生的空间圆B0，C0.

2.证明：因为空间圆是有大小的，所以O1，O2的空间圆A0是可以大于O1，O2的空间圆B0的.根据空间圆的性质，线c是可以通过O1，O2，A，B的，这样便形成另一种图形，那么线c绕O1，O2做定形旋转时，线c上的点A，B分别产生的空间圆与A0，B0是相同的.

这样当空间圆一直小下去时，最终会有过O1，O2，A，B的线d上的一点D，在线d绕O1，O2做定形旋转时生成一个D点的轨迹是D0，这样点D0就叫作点O1，O2的空间圆点D0.并由证明可以看出O1，O2的空间点是无穷多个.

3.空间圆点的性质

（1）线a是过O1，O2的线，A是线a上的点，A0是O1，O2的空间圆点.如果再有一条线b过点O1，O2，A，那么当线a和线b同时绕O1，O2做定形旋转时，A点所形成的空间圆点A0只有一个.

（2）因为O1，O2的空间圆点是根据O1，O2的空间圆一直变小形成的，所以O1，O2的空间圆点是O1，O2的空间圆的中心部分.

二、直线的另一种定义及性质

1.直线的另一种定义：在空间内任取不重合的两定点O1，O2，只过所有O1，O2的空间圆点的线a叫作直线.

2.证明：根据空间圆点的性质（1），过空间内任意不重合的两定点O1，O2和给定的O1，O2的空间圆点A的线，绕O1，O2做定形旋转，则给定的O1，O2的空间圆点A不变.所以当线只过所有O1，O2的空间圆点时，线上所有的空间圆点在线绕O1，O2做定形旋转后所有O1，O2的空间圆点不变，也就是线不变.这样，只过所有O1，O2的空间圆点的线叫作直线.

3.直线的性质

（1）根据空间圆点的性质（1）（2）可知，过O1，O2的直线有且只有一条，也就是两点可确定一条直线.

（2）根据直线的定义可知，直线上的每一点都是O1，O2的空间圆点，所以，当直线a绕O1，O2做定形旋转时，直线上的每一点都会与O1，O2做同样的旋转，这样我们可以任取直线上不重合的两点，并以两定点为定点，使直线绕其做定形旋转，直线不变.

（3）根据直线的性质（2）和空间圆点的定义可知直线是直的.

（4）直线是无限延伸的.

（5）如果一条直线上的不重合的两点可与另一条直线上的不重合的两点重合，根据直线的性质（1）可知，两直线重合.

三、直线的其他延伸定义

1.线段的定义及性质

（1）线段的定义：直线上任意两个不重合的点，以两点之间的部分叫作线段，线段上的两点叫线段的端点，两点之间的部分叫线段的长度.

（2）线段的性质：

①根据直线的性质（2），当线AB绕A点、B点做定形旋转时，线段不变.

②根据直线的性质（1）可知点A与点B之间的线段有且只有一条.

③任取两线段AB，CD，让两线段一端点重合，并且使一条线段的另一端在另一条线段上，根据线段的性质（2）可知，一条线段的全部与另一条线段的部分是重合的.

④因为直线是直的，所以线段也是直的.

2.射线的定义及性质

（1）射线的定义：直线上任意一点及一侧的部分叫射线.

（2）射线的性质：

①根据直线的性质（5），任意两射线是可以重合的.

②根据直线的性质（2）可知，射线绕射线上的任意不重合的两点做定形旋转，射线不变.

③根据直线的性质（3）可知射线是直的.