突破M>>m的紧箍咒

苏清水

摘 要：《探究加速度与力、质量的关系》这个实验是高中力学中很重要的一个实验，也是高考频考的一个知识点。这个实验的一个很重要的特色是需要小车质量远大于砂桶的质量（M>>m）这个限制条件，如何突破这个紧箍咒，实现实验设计的创新？这是近几年高考在这个实验上着重考查的地方。本文从实验方法角度突破这个限制改进实验，以帮助学生更好地提高实验设计能力。

关键词：加速度与力、质量的关系；牛顿第二定律；实验；M>>m

《探究加速度与力、质量的关系》这个实验是高中力学中很重要的一个实验，也是高考频考的一个知识点。这个实验的一个很重要的特色是需要小车质量远大于砂桶的质量（M>>m）这个限制条件，如何突破这个紧箍咒，实现实验设计的创新？这是近几年高考在这个实验上着重考查的地方。本文试着从实验方法角度突破这个限制改进实验，以帮助学生更好地提高的实验设计能力，迎接高考的检验。

1 《实验探究报告》编写组编写的实验内容

（1）实验目的：探究加速度与力、质量的关系

（2） 实验原理：利用砂及砂桶通过细线牵引小车做加速运动的方法，采用控制变量法研究上述两组关系。

（3） 实验步骤

①用天平测出小车和小桶的质量M和m，并把数据记录下来。

②安装好实验装置如图1所示。

③平衡摩擦力：将长木板的不带定滑轮的一侧抬起适当的角度，小车一端系上纸带，另一端不挂小桶，轻推小车，小车所带动的纸带打点均匀，说明小车刚好能沿斜面向下匀速。

④小车一端系上纸带，另一端通过细线挂小桶，先接通电源再无初速释放小车，小车带动纸带运动，打点计时器在纸带上打下一系列的点，利用纸带求出小车加速度a。

⑤让小车的质量保持不变，通过改变小桶中的沙的质量而改变车所受牵引力，重复步骤④，将记录的数据填写在事先设计好的表格内 [1 ]。

⑥建立直角坐标系，纵坐标代表小车加速度，横坐标代表小车所受合外力，在坐标系上描点，画出相应的图线以探究a与F的关系。

⑦让小桶（含其中的沙）的质量保持不变，通过在小车上增减砝码而改变小车的质量，重复上述步骤⑤、⑥探究a与的关系。

2 实验困境和《实验探究报告》编写组对困境的处理

平衡摩擦后，将砂桶通过细绳系在小车上，接通电源放开小车，使系统做加速运动：

对砂桶：绳拉力T=mg-ma…① 对小车：T=Ma…② 对系统：mg=（m+M）a…③

困境Ⅰ：因为砂桶和小车一起匀加速，由①式可知，T

困境Ⅱ：由③式可知，虽然作用力mg可以保持不变，可以探究a随M的变化关系，但a与不成正比，实验数据的处理比较麻烦，结论也很难得出。

教材对困境的解决：由①②式可知a=，T=Ma==

当M>>m时，T≈mg 对车来说：T≈mg=Ma

故可通过改变砂桶中细砂的质量来改变拉力的大小，从而探究加速度与拉力的关系；在小车上添加砝码来改变小车的质量，从而探究加速度与质量的关系。

从教材对该实验的处理可以看出，当M>>m时，接近于零，M对T的影响可以忽略，这种突出主要因素，忽略次要因素的思想也是物理学科的一种很重要的思想方法。但是在描绘a-图像时（图2），随着的增大，M逐渐减小，减到一定程度就不再满足M>>m，此时不能在忽略，T不再近似等于mg， a-图像不再是一条直线，实验存在较大误差。

从以上的分析可以看出，按教材编写组的设计，这个实验要成功必须要满足M>>m这个前提条件。M、m相差较小时，实验就会存在较大的误差。要突破M>>m的限制，可以从改进实验仪器着手，如图3所示，将一个拉力传感器水平固定在小车上，细绳拉力的大小F可直接从拉力传感器上读出，a与F的关系很容易探究，但在中学阶段的学生实验，传感器的使用还不是很普遍，因此本文重点从改进实验方法入手，创新实验方案，这样也更能训练学生的实验思维和能力。

3 实验创新方案

（1） 方案一

①实验装置如图4，用天平测出小车质量M和钩码质量m

②长木板带有光滑轻质定滑轮的一端下面垫上一薄垫块，小车一端同时连着纸带和细线，纸带与打点计时器相连，细线通过定滑轮挂上钩码。

③通过改变垫块的位置适当调整长木板的倾角，将细线一端通过定滑轮挂上钩码，使得轻推小车后，与车相连的纸带上打点均匀分布（小车沿木板向下匀速）。

④不改变长木板的倾角，先取下细绳和钩码，再无初速释放小车，使小车能沿长木板向下匀加速。通过纸带上的打点情况求出小车的加速度a [2 ]。

⑤小车质量M保持不变，改变钩码质量m，重复步骤③和④，求出对应的a-F（F=mg）图像。

⑥钩码质量m保持不变，改变小车质量M，重复步骤③和④，求出对应的a-图像

说明：由步骤③知，因为系统匀速，所以mg=T=Mgsinθ-μMgcosθ

由步骤④知，Mgsinθ-μMgcosθ=Ma，联立得mg=Ma

从推导过程可以看出，该方案的优点是：绳的拉力一定等于钩码的重力，并不需要M>>m这个前提条件。缺点是：长木板的倾角θ需满足mg=Mgsinθ-μMgcosθ，每次改变M或m时，就要重新调整木板的倾斜角以使系统匀速。

在这个方案中，先挂钩码让系统匀速，然后撤去钩码，让小车匀加速。而原方案中，先让小车单独向下匀速，然后挂上钩码，让系统匀加速。两个方案相比，只是两个步骤的顺序换了一下，但结果却大为不同。

（2） 方案二

实验装置如图5：小车上固定一个盛有沙子的盒子，不可伸缩的轻细绳一端连着小车，一端通过光滑轻质滑轮连着沙桶，小车的总质量（包括车、盒子及盒内沙子质量）记为M，沙桶的总质量（包括桶以及桶内沙子质量）记为m [3 ]。

①平衡摩擦力：调整长木板倾角，直到轻推小车（不挂沙桶），小车刚好在长木板上匀速向下。

②从盒子中取出一些沙子，装入沙桶中，称量并记录沙桶的总重力mg，将该力视为合外力F。将沙桶通过细绳系在小车上，先接通电源再无初速释放小车，使小车运动，打下纸带并利用纸带求出小车的加速度a。

③从盒子中再取出一些沙子，装入沙桶中，重复步骤②，即改变F并测出对应的a。

④以系统所受合外力F（F=mg）为横轴，以加速度a为纵轴，画出a-F图象。

说明：对系统分析，mg=（m+M）a，因桶内的沙子取自小车中，所以当m改变时，系统的总质量（M+m）保持不变，a与F（即mg）成正比，很容易得到探究结论。

在这个方案中，质量的改变只在系统内部之间进行，系统的总质量保持不变，因此就可以直接利用系统来探究加速度与力、质量的关系，不再需要M>>m这个前提条件。而原方案中，小车质量不变，改变砂桶的质量时，系统的质量发生改变，方程mg=（m+M）a两边都出现变化，没办法用限制变量法探究a-F关系。

（3） 方案三

装置如图6：A为小车，连接在小车后面的纸带穿过电火花打点计时器B，它们均置于水平放置的一端带有定滑轮的足够长的木板上。P为重物， C为竖直放置的弹簧测力计，不可伸缩的轻细线一端连着小车，一端通过定滑轮和动滑轮和C相连 [4 ]。

①平衡摩擦力：撤去细线，调整长木板的倾角，直到轻推小车（不挂沙桶），小车刚好在长木板上匀速滑下。

②按图6安装各器件，无初速释放小车，读出测力计的示数F，利用纸带测出小车的加速度a。

③在小车质量M不变的情况下，改变P的质量m，读出测力计不同读数F，建立坐标，画出相应的图线以探究a与F的关系。

在这个方案中，绳子的拉力用测力计的示数来体现，不管小车运动状态如何，在忽略滑轮摩擦阻力和测力计各器件间摩擦阻力的情况下，绳子的拉力大小总等于测力计读数，不需要满足M>>m这个条件。这个方案的缺点是装置比较麻烦，而且以上这些摩擦阻力也很难完全忽略掉。

参考文献：

[1] 《实验探究报告册》编写组. 《实验探究报告》物理必修1（配山东科技版） [M] . 北京：北京教育出版社， 2008：53-55.

[2] 徐志长. 提炼方法 升华能力——高三物理后阶段有效复习谈[J]. 教学月刊：中学版（教学管理），2013（3）：24-28.

[3] 扈炳芳.用“转移钩码法”验证牛顿第二定律[J].物理通报，1997（4）：33-34.

[4] 李金坡.牛顿第二定律实验研究与改进[J].物理通报，1999（12）：37-39.