光纤布喇格光栅基模到辐射模耦合分析

杜勇　陈彭

摘 要：根据耦合模理论和辐射模理论对光纤布喇格光栅（FBG）外界材料折射率大于包层折射率的情况下建立了完整的模型。基于自适应Lobatto算法将基模到辐射模的耦合方程组离散化，利用四阶五级的Runge-Kutta法求解基模到辐射模的离散耦合方程组。定量地分析了FBG的透射谱随它的外界材料折射率、长度、周期以及纤芯半径的变化规律。研究结果对于指导FBG设计、封装和将其作为折射率传感器的应用都有一定意义。

关键词：布喇格光纤光栅；辐射模；三层阶跃波导

光纤布喇格光栅（FBG）是一种具有优良光学特性的光纤型无源器件，在光纤通信和光纤传感领域得到了广泛的应用[1.2]。FBG的电磁特性主要表现为纤芯内正、反向传输的基模之间的耦合。随着研究的深入，进一步考虑正向基模与反向包层模或辐射模之间的模式耦合效应显得很重要。

FBG正向基模到反向基模的耦合分析，文獻[3]进行了研究；1997年T.Erdogan等人[4]对FBG纤芯的LP01模和包层模的耦合进行了详细的描述。文献[5]提出了基于FBG 包层模式的折射率传感方案， 研究了光纤通过氢氟酸腐蚀后包层模式的耦合波长随外部折射率的变化规律。对于FBG基模到辐射模的耦合研究，报道较少。文献[6]在假定光纤包层半径为无限大的情况下，对FBG基模到辐射模的耦合进行了研究，显然这与实际情况不吻合。文献[7]首次在外界材料折射率略大于包层材料折射率，且包层半径为有限大的情况下采用泰勒级数展开法研究FBG基模到辐射模的耦合特性。当FBG的基模和辐射耦合较弱时该方法计算简单且误差较小。但基模与辐射模的耦合较强时，需将泰勒级数展开至三阶以上，计算复杂且误差较大。文章在文献[7]的基础上，采用计算简单且精度高的数值积分和数值微分相结合的方法，计算FBG的基模和辐射模的耦合方程，研究了FBG外界材料折射率、长度、周期以及纤芯半径变化对FBG透射谱的影响。

1 基于三层结构的FBG辐射模研究

采用三层阶跃折射率波导结构[8]来模拟FBG，如图1所示，其中n1、n2和n3分别是纤芯、包层和外界材料的折射率，r1和r2分别是纤芯和包层的半径。当外界材料折射率大于包层折射率时，由文献[3]可知在波导中不存在离散的包层模式，只有连续的辐射模。

3.1 外界材料折射率对FBG透射谱的影响

图2为FBG透射谱随外界材料折射率（n3）的变化情况，即n3=n2、n3=1.02n2、n3=1.05n2时的FBG透射谱。所选用FBG的参数为：n1=1.451、n2=1.446、r1=4.1μm、r2=62.5μm、光栅长度L=10mm，折射率调制深度5×10-4和光栅周期Λ=530nm。由它可以看出：（1）当n3=n2时，即类似包层无限大的情况，此时波长小于1.525区间透射谱比较平滑，它表明基模被耦合到了连续的辐射模。（2）当n3>n2时，即n3=1.02n2，n3=1.05n2时，在1.526μm <λ<1.532μm区间上出现了法珀效应，这是由于光在n2和n3界面连续反射引起的。（3）在n3=n2、n3=1.02n2、n3=1.05n2时，位于1.532μm<λ<1.535μm区间上最小透射率对应的波长均为1.533μm；n3=n2时，最小透射率为0.381；n3=1.02n2时，最小透射率为0.535；n3=1.05n2时，最小透射率为0.647，由此可见以该区间内最小透射率随着外界材料折射率的增大而增大，文献[7]未提及此变化。该结论对FBG外部材料折射率的选取有一定的参考意义。

3.2 光栅长度对FBG透射谱的影响

图3为FBG透射谱随不同光栅长度（L）的变化情况。所选用FBG的参数为：n1=1.451、n2=1.446、n3=1.447、r1=4.1μm、r2=62.5μm、折射率调制深度5×10-4和光栅周期Λ=530nm。由它可以看出：（1）改变L不能改变透射峰所对应的波长的大小。（2）在1.526μm<λ<1.536μm区间上。L为5mm时，最小透射率为0.7373；L为10mm时，最小透射率为0.5304；L为50mm时，最小透射率为0.6134；L 为15mm时，最小透射率为0.3810，；L为20mm时，最小透射率为0.2719。说明改变光栅的长度可以改变透射率峰值的大小。该结论对FBG长度的选择提供了理论依据。

3.3 光栅周期对FBG透射谱的影响

图4为FBG透射谱随光栅周期（Λ）的变化情况。所选用FBG的参数为：n1=1.451、n2=1.446、n3=1.447、r1=4.1μm、r2=62.5μm、光栅长度L=10mm，射率调制深度5×10-4。由它可以看出：Λ为530nm时，透射峰顶点对应的波长为1.533μm；Λ为540nm时，透射峰顶点对应的波长为1.563μm；Λ为550nm时，透射峰顶点对应的波长为1.591μm，这说明改变光栅周期可使透射峰的顶点对应的波长发生改变，即透射峰顶点对应波长随着光栅周期的增大而红移；反之，随着光栅周期的减小而蓝移。与此同时，Λ为530nm时，最小透射率为0.3810；Λ为540nm时，最小透射率为0.3219；Λ为550nm时，最小透射率为0.4203，说明透射谱最小透射率略微发生变化。该结论对基于FBG滤波器的制作，提供了理论依据。

3.4 纤芯半径对FBG透射谱的影响

图5为FBG透射谱随纤芯半径（r1）的变化情况。所选用FBG的参数为：n1=1.451、n2=1.446、n3=1.447、r2=62.5μm、光栅长度L=10mm，周期Λ=530nm，折射率调制深度5×10-4。由它可以看出：（1）透射率为1时，当r1为5μm透射谱宽度范围为1.529-1.535μm；当r1为4.5μm时，透射峰宽度为1.527-1.535μm；当r1为4.1μm时，透射峰宽度为1.525-1.535μm；当r1为3.5μm时，透射峰宽度为1.521-1.534μm。说明随着纤芯半径的增大，透射峰的宽度会减小，反之，纤芯半径减小，透射峰的宽度会增大。（2）在r1为5μm时，透射率最小值为0.3235；在r1为4.5μm时，透射率最小值为0.4353；在r1为4.1μm时，透射率最小值为0.3810；在r1为3.5μm时，透射率最小值为0.4009。这说明改变纤芯半径，透射率的大小会发生细微的变化。（3）在r1为5μm时，透射峰对应波长为1.534μm；在r1为4.5μm时，透射峰对应波长为1.533μm；在r1为4.1μm时，透射峰对应波长为1.533μm；在r1为3.5μm时，透射峰对应波长为1.532μm。这说明随着纤芯半径的减小，透射峰略微红移。这对FBG制作时纤芯半径的选取有一定的指导意义。

4 结束语

采用三层阶跃折射率波导结构，根据耦合模理论和辐射模理论对光纤布喇格光栅（FBG）外界材料折射率大于包层折射率且包层半径为有限大的情况建立了完整的模型。基于数值算法计算FBG基模到辐射模的耦合方程组。定量地分析了FBG的透射谱随其外界材料折射率大小、长度、周期以及纤芯半径的大小对FBG的透射谱的影响。研究结果对于指导FBG设计、制作以及将其作为折射率传感器的应用都有一定的参考价值。

参考文献

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[7]Yahei Koyamadaand. Analysis of Core-Mode to Radiation-Mode Coupling in Fiber Bragg Gratings with Finite Cladding Radius[J].J.Lightwave Technol.， 2000，18（9）：1220-1225.

[8]童治，陶鋒，魏淮，等.长周期光纤光栅中基模到辐射模耦合的数值分析[J].光学学报，2003，31（1）：89-91.

作者简介：杜勇（1971-），男，甘肃天水人，硕士，副教授，从事光电子器件研究。