圆锥与圆柱正贯极值点图解分析

曲焱炎等

摘 要：文章利用两种辅助面方法分析了正交的圆锥与圆柱相贯线的求解，必求出界定相贯线范围的极限位置点。辅助平面法只能分析求解大部分极值点，得不到极右点。文章利用辅助球面法截圆锥和圆柱，截交线分别是两相交圆周，正面投影为两直线段。它们交点即为相贯线上点。利用球面越小与同轴等径的圆柱相贯线越趋右的原理，得出最小球面为求得极右点的关键。同时给出了教材中正确解法的立体图解释。

关键词：锥柱正交相贯线；极右点；辅助球面法；图解分析；最小球面

1 概述

求两回转体的相贯线一直是画法几何教学的难点和重点，很多教材都以求正交圆锥和圆柱相贯线作为例题讲给学生。但对于相贯线极值点的给出却语焉不详[1-2]，有的给出做法却未分析其缘由[3-4]，有的竟给出错误解答[5-7]。教材在引导学生学习科学方法起着至关重要的作用，例题的给出一定要使学生知其然更能知其所以然。很多文献也对此作了研究[8-9]，但均是推导出相贯线方程，利用微分求极值的方式给出答案[10-11]。在画法几何课堂教学，不适用长长的数学公式推导和微积分求解。文章就投影学的方法给出相贯线极右点的求解分析。

2 辅助平面法正交锥柱相贯线求解

下为很多教材出现的例题，求轴线正交的圆锥和圆柱相贯线，如图1所示。圆柱与圆锥半贯，相贯线是一条封闭的、前后对称的空间曲线。圆柱的轴线为侧垂线，其侧面投影积聚为圆，可根据相贯线的共有性，相贯线既在圆柱表面上又在圆锥表面。而圆柱表面上点侧面投影都积聚在圆周上，所以相贯线侧面投影也在圆周上。画图时不可能求出所有点的投影，只能求特殊点，这些特殊点要决定投影曲线的轮廓范围和变化趋势。特殊点包括相贯线极限位置点和曲面立体转向轮廓线上的点。由此在侧面投影可知其最高点1"、最低点2"和最前点3"、最后点4"。两形体轮廓线的交点1′、2′是其正面投影。利用辅助平面法来求相贯线的水平投影和正面投影。如图2所示，可以求出最前，最后点的水平投影。根据1′、2′和1"、2"可求得其水平投影1、2。在正面投影区域可以分析得出，Ⅱ点也是相贯线的最左点。

侧面投影是相贯线的最右点的侧面投影。求作方法是[3]：过圆柱侧面投影圆圆心O"向圆锥侧面投影轮廓线作垂线，与圆锥轮廓线相交于点m"，过点m"作辅助水平面R，则最右点ⅤⅥ属于R平面，利用辅助平面R可求得其水平投影5、6和正面投影5′、6′。于是问题出现了，为何此作法，5′、6′就是相贯线的最右点呢？

3 正交锥柱相贯极值点的最小球面法原理

单纯用辅助平面不能解释此种做法之原理，而是需要利用辅助球面法来说明其意义。辅助球面法的作图原理是：当回转体的轴线通过圆球球心时，球与回转体的相贯线为垂直于回转体轴线的圆，当回转体轴线平行于某投影面时，在该投影面上此圆的投影成直线。如图3所示，当圆锥与圆柱为两个轴线垂直相交的情况，以轴线相交点为球心，辅助球面与同轴圆锥相交截交线为垂直于轴线的圆（为水平面），与圆柱相交截交线同样是圆（为侧平面）。正面投影相贯线上点为两截交线的交点7′（8′），即正面投影两圆的积聚直线交点。水平投影为圆与积聚线的交点7、8。立体解如图4所示。而且在相贯区域有最大球面（蓝双点画线）和最小球面（红双点画线）。圆锥、圆柱与最大辅助球面截交线的交点就为最左点。最右点的分析如下：当大小不同的辅助球面与圆柱面相交时，由于球心位置是相同的，球越小时，圆球与圆柱的截交线越靠右，如图5所示。那么极限位置点就出现在最小球面与圆柱的截交线上。最小球面由与圆锥相切的位置来决定。所以由轴线交点所作圆锥轮廓线的垂线，球心到垂足的距离为最小球的半径，如图3中红线部份所示。最小球面与圆锥的截交线即为图1所示的过垂足所作辅助平面R与圆锥截交线，此截交线为一段优弧的圆周。它与圆柱素线相交点5'，6'就是柱锥正贯的最右点。

按照上述辅助法作图步骤，求出特殊位置点和两对一般位置点的正面和水平投影。根据侧面点投影的连线顺序光滑连接各点，正面投影为双曲线的一支[12]。完整解如图6所示，9，10点为给出两个圆柱轴线下相贯线上一般位置点。

4 结束语

求解柱锥正贯的相贯线，辅助平面法可以分析求得除了极右点的其它极值点，无法得出最右点的位置。利用辅助球面法分别与圆锥和圆柱的截交线，利用三面相交得相贯线交点原理，可以求出相贯线上所有点投影。利用球面越小与同轴等径的圆柱相贯线的位置越靠近右侧，而且在与圆锥相贯的球面也有最大和最小的区域。最小球面是截交圆柱和圆锥交点的极右点。文章可以填充到教材内容中，给学生以确切的求解柱锥正贯极右点的几何解释。

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