拨开云雾见晴天

孟祥国

【摘要】二次根式历来是教学中的一个难点，新修订的初中《代数》第三册，虽然降低了教学要求，但是对于初二学生来说要比较好地理解和掌握仍有一定的困难在等着，在教学过程中发现存在很多问题.如：对概念理解不够深透、特点不明确、忽视了限制条件、化简思路不开阔不灵活、解题思路不清晰、循规蹈矩、墨守成规、缺乏综合分析问题和探究问题的能力等等.由于以上问题的存在，导致了学生在学习二次根式这部分内容时，简单直接的内容基本能够处理，对难度稍大一点、灵活性较强的题目就显得束手无策了.针对这些问题，笔者就在教学中存在的几个误区进行了剖析，旨在抛砖引玉.

【关键词】二次根式；代数；误区

误区一 对二次根式定义理解不够深透，或忽视了其特点而造成的误区

例1 判断a+b是不是二次根式.

本题同学们的答案通常有两个：一、是， 二、不是.

其实这两个答案都是不正确的.正确的答案应该是：当a+b≥0时，a+b是二次根式；当a+b<0时，a+b不是二次根式.

错误原因：对定义的理解不够深透.其实以上两种答案都没有紧扣定义，只不过是胡蒙而已，对于 a型的二次根式同学们还是能够处理得了的，当遇到a+b型的二次根式，就感到束手无策了.

反思：此题对培养同学们的整体意识与提高综合分析问题的能力极有益处.

例2 若x3= -xx成立，试确定x的取值范围.

大部分同学的答案是：x<0.

答案显然不对，由二次根式的特点可知：-x≥0，由定义知：x≥0，两个不等式的公共解集应是： x=0，因此x的取值是：x=0.

此题同学们如果仔细分析一下结果的话，错因就会自然地浮出水面，不至于因为结果中出现了“-”号，就草率地作出了结论，而忽视了x必须有意义，顾此失彼.

反思：注重培养学生综合分析问题的能力是何等的重要.

例3 将二次根式-（a-1）11-a 中根号外的因式移到根号里面去并进行化简.

多数学生的答案是：-（a-1）11-a=- （a-1）1-a2=-（1-a）21-a=-1-a.

当老师问及同学们此题的答案是否正确时，则同学们异口同声地回答：正确.于是老师与同学们一起对此题进行了剖析：由二次根式11-a有意义可知：1-a>0，即-（a-1>0），也就是说原

二次根式应该是正值，而这些同学作出的结果则是负值，因此答案错误.正确答案应是：

解 -（a-1）11-a=（1-a）11-a=（1-a）21-a=1-a.

反思：此题是典型的对概念理解不透彻，忽视了其特点从而在解题过程中导致的错误，并且是共性的错误，应引起高度重视.

误区二 隐含条件没有得到充分挖掘而出现的错误

例1 化简x-yx+y .

有两名同学的答案如下：

当老师问及这两名同学的答案是否正确时，同学们则异口同声地回答：都正确.老师补问了一句都正确吗？这时有一部分同学开始怀疑这里面肯定有问题，于是就试图找出问题来，但是最终未果.最后在老师的提示引导下才发现生二的答案错了，错因也明确了，生二的错误原因是：

由原式可知：x与y中至少有一个大于零，但不说明x不能等于y，当x=y时，生二在化简时分子、分母所乘的代数式 x-y显然是零，故生二的化简错误.

例2 把（a-b）-1a-b中根号前的因式移入根号内.

有几名同学展示的答案是：（a-b）-1a-b=-（a-b）2a-b=-（a-b）=b-a.

此题的做法明显暴露的一个问题是：对隐含条件挖掘不透而导致的错误.由-1a-b有意义可知： a-b<0，因此原代数式的结果应该为负，正确答案应是：

解 （a-b）-1a-b=--（a-b）2a-b=--（a-b）=-b-a.

反思：以上两题问题就出于对隐含条件挖掘不透彻，此类题目为二次根式的化简敲响了警钟.

误区三 由解题习惯、思维定式造成的误区

例1 化简： 2-323-32 .

同学们在化简此题时使用的方法全部是常规方法，将分子、分母同乘以23+32，虽然这种化简方法不是知识性错误，也能达到化简目的，但是不够简捷.若同学们改变一下思路将23+32整理成6（2-3）然后再进行化简的话，将会起到事半功倍的效果.解答如下：

解 2-323-32=2-36（2-3）=16=66.

反思：此题的化简方法，为化简此类二次根式开辟了新的思路.

例2 化简：3-5.

同学们一看到题目觉得非常简单， 于是就着手化简起来，有的同学将被开方数乘以5，有的同学乘以3+5，但是发现都不奏效，没有一名同学完成化简任务，甚至大家都认为此题根本无法化简，此时老师借机提示了一句：同学们，在不改变代数式的值的情况下，将5的系数变为2试试看，老师一席话，犹如拨开云雾见晴天，同学们的情绪一下就高涨了起来，纷纷按照这个思路动手做了起来，顺利完成了化简任务.复合二次根式的化简诀窍也掌握了，同时也体验到了发现的快乐，同学们的答案是：

解 3-5=6-252=（5）2-25+122=（5-1）22=5-12=10-22.

反思：此题虽然简单，却为化简复合二次根式起到了以点带面的作用.

例3 化简15+3+2 .

同学们接到题目后，未加思索就用常规方法开始化简起来，结果发现常规方法根本达不到化简目的，这时才想到，必须另辟蹊径，教师借机稍一点拨： 若将分母中的任意两个根式看作一个整体试试看，于是同学们的思维活跃起来，纷纷动起笔来， 于是顺利得到解答.下面是解答之一.

解 15+3+2= 1（5+3）+2=5+3-2（5+3+2）（5+3-2）=5+3-2（5+3）2-（2）2

=5+3-22（15+3）=（5+3-2）（15-3）2（15+3）（15-3）=23-30+3212.

反思：此题为化简多根号二次根式指明了明确的方向.

通过以上三例的研究发现，适时培养同学们的创新能力和探索精神是何等重要，不但能打破同学们的思维定式，避免经验主义，开辟新的解题思路，而且能大大提高同学们解决问题的能力，达到举一反三、触类旁通之效果.

综上所述，可以发现，同学们在解决以上二次根式问题的过程中，能够更加深入地理解二次根式的概念和特点，以便在今后的学习过程中尽量避免一些错误或不足，其他就是开阔了学生的视野，让同学们发现了一些新的解题思想和解题思路，从而激发了学生对数学的学习兴趣，增强了趣味性，从而使学生更加热爱数学，更加努力学习数学，也能让同学们充分认识到数学不但不是枯燥乏味的，而是趣味无穷的学科，是一门充满探究性、创新性、挑战性的学科.通过对上面问题的研究既培养了同学们的探究精神和成就感，也让同学们体会到了发现的快乐，优化了自己的知识结构，发展了思维能力，培养了创新意识，真正让数学课堂成为学生放飞潜能的天空，师生的共同乐园.