例说导数零点问题的处理策略

洪平锋

【摘要】分析不同类型导函数零点问题的处理方法，帮助学生灵活利用导数研究函数性质，将导函数零点分可求零点、不可求零点与无零点的类型，逐一阐述导函数零点的求解规律.

【关键词】直接求根；特值代入；设而不求；多次求导；等价转化

导数是研究函数性质培养学生探究能力的重要工具，在利用导数解决函数相关问题的时候，往往需要对导函数的零点加以分析和运用，而平时学生习惯于常见的导函数零点问题，在遇到一些非常规的含参或超越方程时，往往会显得束手无策，笔者对该问题进行了如下整理，以供参考.

一、直接求根法

此类函数的导函数零点是学生常见的方程，导数零点可直接通过解方程的形式求得.

例1 （2013高考重庆卷）设f（x）=a（x-5）2+6lnx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）.

（1）确定a的值；

（2）求函数f（x）的单调区间与极值.

解 （1）a=12.

（2）由a=12知，f（x）=12（x-5）2+6lnx，f′（x）=x-5+6x=（x-2）（x-3）x.

令f′（x）=0，解得x1=2，x2=3.当03时，f′（x）>0，故f（x）在（0，2）与

（3，+∞）上为增函数；当2

由上可知，f（x）在x=2时取得极大值f（2）=92+6ln2，在x=3时取得极小值f（3）=2+6ln3.

二、特值代入法

此类题型的导函数存在零点，但因为是含有lnx或ex的超越方程，所以在求零点时，一般需要先做特值代入，然后再部分求导证明导函数零点就是所代入的特值.

例2 （2013高考北京卷）设l为曲线C：y=lnxx在点（1，0）处的切线.

（1）求l的方程；

（2）求证：除切点（1，0）之外，曲线C在直线l的下方.

解 （1）l的方程为y=x-1.

（2）令g（x）=x-1-lnxx，则原题等价于证明：x>0且x≠1时，g（x）>0恒成立.g′（x）=x2-1+lnxx2，将x=1代入得g′（1）=0.当01时，x2-1>0，lnx>0，所以g′（x）>0，故g（x）单调递增.所以，当x>0且x≠1时，g（x）>g（1）=0，即除切点外，曲线C在直线l的下方.

三、设而不求法

此类导函数零点存在，但因为是超越方程或含参形式导致零点不可求或求解非常麻烦，所以可以考虑“设而不求”的技巧，利用整体代换的方式求解.

例3 设函数f（x）=ln（x+a）+x2，若f（x）存在极值，求a的取值范围，并证明f（x）的所有极值和大于lne2.

解 函数f（x）的定义域为（-a，+∞），f′（x）=1x+a+2x=2x2+2ax+1x+a.

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四、多次求导法

此类导函数零点不存在，但是可以证明该导函数在定义域上恒正或恒负，所以可以通过多次求导的办法求出导函数的最值，判断导函数的符号后得到原函数的单调性.

例4 （2010高考安徽卷）设a为实数，函数f（x）=ex-2x+2a，x∈R.

（1）略；（2）求证：当a>ln2-1且x>0时，ex>x2-2ax+1.

综合上述，导函数零点主要有可求零点、不可求零点和无零点三种呈现方式，对可求零点则直接求解或用特殊值法代入，对不可求零点则一般采用“设而不求”的解决办法.当然，对一些含超越方程形式的导函数零点问题，等价转化也是化简运算的一种有效途径.一言以概之，多对平时我们所遇到的问题加以整理概括，才能不断提高学生分析问题与解决问题的能力.