数学在生活中的一些应用

罗先文

【摘要】数学来源于具体生活实践， 数学与生活息息相关，有着广泛的应用价值，学习数学的目的是为了指导实践，我们需要解决实际问题，首先就要具有把实际问题转化为数学问题的能力，并学会从数学的角度分析问题和解决生活中的实际问题.数学在各学科领域中的应用已得到广泛认可.例如：在管理，农业，工业，金融，教育等方面，数学都起到了不可替代的作用.下面就谈谈数学的在生活中的一些应用.

【关键词】管理 农业 工业 教育 金融

0引言

数学是一门实用性很强的学科，数学起源于计数、丈量土地等实际的生产活动，因此一开始就是实用的.它的特点是为解决具体问题而提供算法或解法的.17世纪牛吨根据力学上的需要发明微积分后，很长的时间中，很多数学家同时也是力学家、物理学家，对他们来说，理论和实践是密不可分的.以后数学研究越来越深入，分科越来越细，如大学数学中的计算数学、微分方程、概率论与数理统计等学科.数学的应用已拓展到几乎每个领域和应用部门，而且在其中起着不可替代的重要作用.

1 数学在管理中的应用

1.1 一元微积分在管理中的应用

1.1.1 价格需求弹性系数

在生活中，商品价格主要取决于商品的价值，市场上的竞争，对产品的需求这三个因素，一般说，价格水平对需求升降有影响，价低则需求上升，价高则需求下降，需求升降率与价格变动率之比称为价格需求系数，用 表示， 值计算如下：

= Q/Q/ P/P

式中：Q---需求量 Q---需求的变动量 P---原价格 P---价格的变动量

Q/Q---需求升降率 P/P---价格变动率

1.1.2 经济批量法

这是一种在工业成批生产中，根据费用来确定合理批量的方法，批量大小对费用的影响，主要有两个因素：设备调整费用和保管费用.批量越大，设备调整费用越少，分摊在每个产品的调整费用越少，但保管费用越多，反之亦然.求经济的批量的原理就是用数学的方法求得这两项费用和的最小的批量.

年设备调整费用为：年设备费用

式中：A表示年调整费用，N表示年产量，Q表示批量.

库存保管费用为：年库存保管费用

式中：C为单位产品的平均保管费用

总费用

这个公式就是计算经济批量的公式.

例1 某厂生产商品，其年销售量为100万件，每批生产设备调整费用为1000元，而每件的库存费用为0.05元，问每次生产多大批量为最优？

所以应该每批生产20万件为最优.

1.1.3 函数的最值在经济中的应用

最值问题是各学科中应用的基础.例如，求资源最省、效益最高、路程做短等最值问题，这些问题都可以归结为函数的最值问题.在数学分析中，最值的常用求法是先求原函数的一阶导数，然后，令一阶导数为零，得到可能的极值点，再对原函数求二阶导数，把可能的极值点代入二阶导函数，来判断该点是否为最值.在理论中，最值问题要结合自变量及函数的取值区间来考虑，在实际应用中，最值是存在的且一般是唯一的，否则原问题无解.

例2 企业分次订购全年需要的原材料2400吨，每次订货到后，先存入仓库，然后陆续出库投入生产.若每次定货要支付费用60元，每吨原材料一年的库存费为3元，每次定货多少，才能使全年企业在存货上所花的费用最省？

解 ：设每次定货T吨，所以全年定货的批数为2400/T，定货费用为因平均库存量为 ，所以存费为 ，因此库存总费用为

又因为

所以

故L（x， y）在（120，80）处取得利益函数的极大值L（120，80）=320（元）.又因为驻点只有一个，所以 为利益最大值.

1.2 数学期望在经济管理中的一些应用

在生活中，有许多问题都可以直接或间接的利用数学期望来解决.数学期望是随机变量的数字特征之一，它代表了随机变量总体取值的平均水平.以下通过具体的实例来说明数学期望在生活中的一些应用.

1.2.1 保险公司获利问题

例4 一年中一个家庭万元被盗的概率是 ，保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险.参加者需要缴纳保险费100元，若在一年内，万元以上财产被盗，保险公司赔偿a元 试问a如何确定，才能使保险公司获利？

解：只需考察保险公司对任一参加保险家庭的获利情况.设

根据题意，

=100-

解得

1.2.2数学期望在天气预报中的应用举例

例5 某商场要根据天气预报来决定节日是在商场内还是商场外开展促销活动.统计资料表明，每年国庆商场内举行促销活动可获得经济效益2万元，商场外举行促销如果不遇到有雨天气可获得经济效益10万元，如果促销活动中遇到有雨则带来经济损失4万元.9月30日气象台预报国庆有雨的概率是 ，商场应该选择哪种促销方式？

解：设若在商场外举行促销活动该商场所获得的经济效益为 ， 所有可能的取值为10 、-4，则 的分布列为

E

即在商场外举行促销活动可期望获利 万元，又因为在商场内举行促销活动可获得经济效益2万元，故商场应选择在商场外举行促销活动.

1.2.3 进货问题

例6 设某种商品每周的需求 是取从区间 上均匀分布的随机变量，经销商进货量为区间 中的某一整数，商品每销售一单位商品可获利5000元，若供大于求，则削价处理，每处理一单位商品亏损100元.若供不应求，则可从外部调剂供应.此时一单位商品获利300元.为使商品所获利期望不少于9280元，试确定进货量.

解： 设进货量为a，则利润为

期望利润为

依题意有：

所以利润期望值不少于9280元的最少进货量为21单位.

1.2.4大数定律与中心极限定理的一些应用

下面以彩票为例，阐明大数定理与中心极限定律的实际应用.

大数定理是近代保险业得以建立的基础.根据大数定律和中心极限定理，我们知道承保的危险单位越多，损失概率的偏差越小，反之亦然.因此，保险人运用大数法则就可以比较精确的预测危险，合理的拟订保险费率.下面以一道具体的有关保险业的事例来阐述大数定律和中心极限定理在保险业中的重要作用和具体应用.

例7 已知在某人寿保险公司里有10000个同一年龄段的人参加保险，在同一年里这些人死亡率为0.1%，参加保险的人在一年的头一天交付保险费10元，死亡时家属可以从保险公司领取2000元的抚恤金.求保险公司一年中获利不少于40000元的概率；保险公司亏本的概率是多少？

解：设一年中死亡的人数为x人，死亡率为p=0.0001，把考虑10000人在同一年是否死亡看成10000重贝努里实验.

保险公司每年收入为10000 元，付出20000x元

由此可见，我们应用大数定律和中心极限定理的知识可以准确计算出保险公司的破产率，并为采取措施降低保险公司的风险提供了重要的理论依据.在现实生活中，学会使用大数定律和中心极限定理对我们的学习和生活带来很多帮助.

2 数学在农业科学中的一些应用

2.1 微积分在农业中的应用

例 1 某发酵过程中的酵母细胞数n与时间t的函数关系是 ，证明其相对生长率（RGR）是一个常数.

可见，其相对生长率为一常数.

酵母细胞的生长规律 是假设细胞在一个空间和营养供应都无限制的环境中进行的，因此，生长率正比于种群大小，即 ，但实际中，环境营养供应通常不是无限制的，所以，相对生长率将随着种群大小的增加而降低，于是有如下关系： RGR=r-kn（k为常数）

例2 某地观测得夏季绿肥生长量为求从t=20到t=30天绿肥的生长量.（已知N =15.5公斤，k=0.074）

解：生长量函数是其变化率的原函数，因此

故从20天到30天间绿肥生长量为 .

2.2 概率在农业中的应用

概率是研究和揭示随机现象的数量规律性的数学分支，概率在农业中的应用十分广泛，它贯穿于农作物生长的全过程，从一开始的发芽与否到生长的株高与天数的关系及最后估量果实产量，还是有生长过程中患病与治病等生长规律都可用概率解决.

例3 某地小麦易患锈病，当任一种锈病流行时，小麦即被危害，现测得该地条锈病流行的概率为 ， 叶锈病流行的概率为 两种锈病同时流行的概率为 求小麦被锈病危害的概率为多大.

解：设A、B分别为小麦条、叶锈病流行的事件，则A+B表示小麦被锈病危害事件，根据加法公式有：

故小麦被锈病危害的概率为 .

例4 高杆糯稻与矮杆糯稻杂交，在 代出现矮杆糯稻的概率为 ，出现矮杆非糯稻的概率为 ，问：（1） 代种20株得到矮杆糯稻2株或2株以上的概率是多少？（2）为了使所种的 代中起码要有一株矮杆糯稻的把握为99%，至少要种 多少株？

解：（1）没有矮杆糯稻的概率为：

有1株矮杆糯稻的概率为

有2株或2株以上矮杆糯稻的概率为

（2）起码有一株矮杆糯稻为99%的把握，就有

即：

所以

即：（1）概率是 .

（2）至少要种72株.

2.3 最小二乘法在农业中的应用

例5 某地为了从绵羊的胸围做估计测定它的体重，随机地抽取了10头绵羊的胸围与体重得数据，资料如下表：

试建立体重Y关于胸围的经验公式

解：根据表中数据作出散点图，如下：

从图可见， 关于x是有直线变化的趋势，所以可以利用直线型经验公式： =a+bx表示它们内在的规律，用最小二乘法解题，计算结果如下表：

把表中各数值代如公式

由

这样，对于这个地区的其它绵羊只要测量出胸围，通过上式就可计算出它的体重，因此给实际工作带来了很大方便.

3 数学在工业中的一些应用

3.1 小概率事件在统计中的应用

统计推理的基础是小概率原理，而不是逻辑推理.在显著性假设检验理论中，一般把小概率 称为显著性水平.假设检验是在给定显著性水平下，判断某一假设的正确性.从逻辑上讲是一种含有否定意义的结论形式，这个推断结论是有 可能性错误的结论，它不但表现了概率统计的特点，而且表现了可能与不可能的辨证关系.

由此看出，X的值几乎以概率1落在 区间内，也就是说，X的值以很小的概率落在 外.

此结论在实际生活中有重要应用.如：某生产线中袋装盐的质量X服从均值为1000g，标准差为20g的正态分布，即X～N（1000，20 ），现对袋装盐的质量进行抽查，发现有一袋盐的质量为1080g，问：是否有理由怀疑生产线存在故障？

由正态分布的 袋装盐质量应以概率1落在 即（940，1060）之内，现在被抽取的这袋盐为1080g，落在此区间的外部，即小概率事件竟在一次实验中就发生了，所以我们有理由怀疑该生产线发生了故障，需要检修.

例2 某厂有一批产品，共有200件，经检验合格才能出厂.按国家标准，次品率不能超过 ，今从中任取5件，发现这5件产品中含有次品.问这批产品是否能出厂？

解： 设这批产品的次品率为p，问题准化为：如何根据抽样的结果来

判断不等式 是否成立？

要检验的假设是“ ”.首先，假定 成立，此时，200件中最多有2件次品，从中任取5件，令A“没有取到次品”，由古典概率模型知

从而，任取5件，出现次品的概率=1—P（A）

以上结果说明，如果 则平均在100回抽样中，事件 最多出现5回，也就是说，在一次抽样中，将很少遇到 发生.由小概率事件原理知，小概率事件在一次实验中实际上是不可能发生的，如果在一次实验中竟然发生了，那么就认为这是一种反常现象.然而现在的事实是，在一次具体的抽样中， 竟然发生了，这是“不合常理”的.为什么会出现这种不合情理的情况呢？其根源在于我们假定了 ，因此“ ”的假设是不能接受的.这只能说明该产品的次品率不止 ，故判断不能出厂.

小概率事件原理的应用是非常广泛的，它是概率论的精髓，是统计学发展、存在的基础，它使得人们在面对大量数据而需要做出分析与判断时，能够依据具体情况的推理做出决策，从而使统计推理判断具备了严格的数学理论依据.

4 数学在金融领域的一些应用

在投资环境日趋复杂的现代社会，几乎所有的投资都是在风险和不确定情况下进行的，一般地说，投资者都讨厌风险并力求回避风险.但是还是有人进行风险性投资，这是为什么呢？这是因为风险能给人们带来超过预期的报酬，这种报酬就称为“风险报酬”.风险程度越高投资者要求获取的报酬也越高.因此在投资行为发生前，就必须对风险和报酬进行有效分析，以弄清不同风险条件下的投资报酬之间的关系，从而，在诸多投资者机会中选择出最有价值的项目进行投资.风险报酬的分析在很大程度上依赖于概率论与数理统计原理的应用.

下面就以实例论述概率论与数理统计原理在投资“风险报酬”分析中的应用.

4.1 计算期望报酬

期望报酬是各种可能的报酬率按其概率进行加权平均得到的报酬率，它是反映集中趋势的一种量度.期望报酬率可按下列公式计算：

其中： ——期望报酬率， ——第i种可能结果的报酬率， ——第i种可能结果的概率，n——可能结果的个数

例如：甲公司有两个投资机会，A投资机会是一个高科技项目，该领域竞争激烈，如果经济发展迅速并且该项目搞得好，取得较大市场占有率，利润会很大，否则利润很小甚至亏本.B项目是一个老产品，并且是生活必须品，销售前景可准确预测.假设未来的经济情况只有三种，繁荣、正常、衰退，有关概率分布和预期报酬率见下表：

下面，根据上述期望报酬概率公式分别计算A、B项目的期望报酬率：

两个项目的期望报酬都是20%，那么应该如何确定它们的风险程度呢？ 相比之下可以发现A方案的报酬非常分散，而B项目的报酬比较集中，一般可以认为B方案的投资风险要比A方案小，这可用标准差来衡量.

4.2 计算标准差

标准差是各种可能的报酬率偏离期望报酬率的综合差异，是反映离散程度的一种量度，标准差可按下列公式计算：

其中： ——期望报酬的标准差， ——期望报酬率， ——第 种可能的结果

——第 种可能的概率，n——可能结果的个数

将上述A项目和B项目的资料代入上述公式得到两个项目的标准差：

标准差越小，说明离散程度越小，风险也就越小.根据这种测量方法，A项目的风险大于B项目.

5. 数学在教育中的应用

随着时代的发展，各校都在致力于探索适合本校的质量管理体系，加强质量管理，以质量求生存，以质量求发展.学生的考试成绩是教学质量的主要来源，对其定量和定性的分析，有助于学校掌握教学情况，建立适合本校的质量管理体系和机制，而对学生成绩的评定是教学过程中的一个非常重要的环节，其中我们应如何把握试卷命题难度呢？众所周知，正态分布是最常见、应用最广的一种分布，按照数理统计的基本原理，经统计分析（样本数 30）93%的考试成绩分布状况在直观上表现为“中间多，两头少，左右对称”的特点，因此被测对象的学习或某种能力的指标和某种能力指标的测验结果 可近似地用正态分布（ ， ）来描述.通过样本对总体的某些特征（如均值或方差）推理判断，已成为教育研究中的一种较为常见的方法.用统计学原理确定学生成绩的平均分及正态分布曲线，并将成为对试卷分析评价的基础.

保证考试质量是教学活动中不容忽视的重要组成部分.如何提高考试质量，不仅应在考试前对试卷质量进行分析，更应结合试后成绩分析作出最终评价.用学生的考试成绩可以定量对命题质量进行评价与分析.分析学生考试成绩的直方图，其分布大致可以分为5种情形：（1）单峰且对称，单峰大体对称.（2）单峰但峰值偏向左移.（3）单峰但峰值偏右.（4）双峰或多峰.（5）大体上可以一个平台型为代表等等.如果把这5种情形的直方图外廓线描出，则大致为如图几种情形的曲线.

根据教育学与统计学的理论，一次难度适中信度的考试，学生的成绩应该接近正态分布.也就是说，当学生的成绩接近正态分布时，则说明此次考试基本达到了教学要求.判断成绩是否接近正态分布，最直观且最有效的方法是将成绩分布曲线与均值和方差相同的正态分布曲线加以比较.当然，学生成绩呈现正态分布是理想化状态.考试成绩完全呈正态分布有一定的困难，也不现实.但我们要以正态分布为标准，加以对比，找出不足.

利用教育统计学研究发现，对于难度适中、客观有效的考试成绩一般都符合正态分布.因此，我们有理由使用各种高级统计方法处理考试分数，以挖掘更多的教育信息.考试成绩是考生水平的反映，同时考试成绩分布是否正态分布反映了命题质量.根据正态分布曲线呈现的形态，可以进行考题相对难度分析.

平均成绩的差异引起曲线的水平位置变化.平均成绩越低，如低于65分说明考试试卷难度越大，而偏高在90分以上说明试卷难度太小.若学生成绩分布属（1）的情形，则表明试卷的质量是比较好的.这里又有两种情形：在标准差不变的情况下随着平均分数的增加曲线向右移说明考生答题逐渐轻松；相反，随着考生平均分数的减小说明考题逐渐变难，学生成绩逐渐降低.在学生和教师工作正常情况下，题目越容易曲线越向右移，在平均分不变的情况下，标准差较小，成绩分布较集中.正态分布曲线呈陡峭型说明试卷区分度太小，表示中等难度试题所占比重太大，标准差较大，成绩分布较平坦，试卷区分度太大，则表明中等难度试题偏少.若学生成绩分布属（2）的情形，即负偏态分布说明难度较大的试题比例偏高，表明试卷题目偏难；若显学生成绩属（3）的情形，即正态分布说明难度较小的试题比例偏重，则表明试卷题目容易.若学生成绩分布属（4）或（5）等所示的情形，则表明试卷的命题质量不好，随意性较强，这样的试卷成绩不能很好地测量出学生对所学知识掌握情况.

正态分布应用的结论：考题相对难度是指考题从整体上讲相对考生其难易程度的合理性.用学生成绩的平均分数衡量考题相对难度应是合理、可行的.对于高校结业类型的考试，经统计平均分数在77分附近时，考题相对难度是合适的.经过确定恰当的偏离度等级标准，对试题难度相对学生①考题合理.②考题稍偏易或稍偏难.③考题较易或较难.④考题较易或较难.⑤考题难度不合理的5个等级指标判断.

综上所述，考试成绩符合正态分布是说明考题命题合理的条件，也是衡量考试质量的一个客观标准.所以根据正态分布曲线呈现的状态，可以评价试卷的难易程度，为评价试卷命题质量提供数据资料，进而调整教学进度，改进教学方法.

因此，我们要运用数学方法加强对教学的管理，完善教育体系.

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