巧妙引入参数，求解平面向量问题

胡彬

我们知道引入参数可以构造函数、方程及不等式，并且通过构造函数、方程及不等式可以解决求值及求范围问题，而在这其中常用到待定系数法。平面向量中的向量平行、三点共线、点的轨迹、最值问题都可以利用待定系数法，从而转化为方程求解。

一、三点共线背景下引入参数

例1 如图1，向量，设M是直线OP上的一点（O是坐标原点）。

（l）求使取最小值时的。

（2）对（1）中求出的点M，求∠AMB的余弦值。

分析：M是直线OP上的一点，可设，并将表示成λ的函数。

解：（l）因为O，P，M三点共线，所以设，则，当λ=2时，取最小值，这时

（2）由，可得

点评

上述解法的“点睛”之处就是根据O，P，M三点共线引入参数λ，将向量问题转化为关于λ的函数20λ+12，从而可以利用函数求最值。

二、平面向量基本定理背景下引入参数

例2

如图2，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN一2NC，AM与BN相交于点P，求AP：PM的值。

分析：选择一组适当的向量作基底，用这组基底可表示平面内的有关向量，再由向量共线条件列出等式，用待定系数法求解。

因为BC和AC上有已知分点，所以选向量BM和CN为一组基底。

解：设，则

因为点A，P，M和点B，P，N分别共线，所以存在实数λ，μ使得

所以

又，所以由平面向量基本定理得，所以，即AP：PM=4：1。

点评

基底建模是向量法解决几何问题的一种重要方法，其关键在于选取的基底是否合适，选好基底就是迈出了成功的第一步。

三、点的轨迹背景下引入参数

例3 平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1），B（-1，3），若点C满足，其中a，β∈R，a+β=l，则点C的轨迹方程为（）。

A.3x+2y-ll=0

C.2x-y=O

D.x+2y-5=0

分析：求轨迹方程的基本思路就是设点列方程。由题设条件“点C满足，其中a，β∈R，a+β=l”，可知点C的轨迹为一条直线，即A，B，C三点共线。利用方程a+β=l把点C（x，y）的坐标联系在一起，即可得到点C的轨迹方程。

解：设。由（3a-β，a+3β），可得（x，y）=（3a-β，a+3β）. 所以，解得

因为α+β=1，所以x+2y-5=0，应选D。

点评

上述解法体现了向量法和坐标法的相互关系及转换方法。由本题可得到一个一般性的结论：若点C满足，其中α，β∈R，α+β=1，则点C的轨迹方程为过A，B的一条直线。