高观点下的中学数学问题

杨晓

近几年来，随着新课程的改革，对教师的要求也提到了更高的层次，如何全方位地把握高中数学教学，用高等数学的思想、观点和方法来指导中学数学教学实践，沟通高等数学与初等数学的内在联系，指导学生进行研究性学习，培养学生的探究精神和创新能力将成为新形势下衡量一位高中数学教师能否胜任的标准之一，同时也是搞活中学数学教学的一条有效途径。另外，随着高考命题自主化的深入，越来越多的省和地区开始尝试自己命题，而在命题组中高校教师占很重要的地位。他们在命题时，会受到自身研究氛围的影响，有关高等数学背景的问题会逐渐增加丰富起来。因此有许多以高等数学中的知识为背景而用初等数学的语言来表述的“高观点”问题，越来越多的出现在试卷上，本文通过几个案列分析，来探究“高观点”下的中学数学问题。

一、将高等数学中的某些简单的命题、概念、定理移用为高考数学试题的一种方法

在高等数学中，很多重要的定义、定理都建立在初等数学知识之上，并且需要或者能够用初等数学知识来解决的，这些高初知识的衔接处为引用提供了试题命制的环境和条件。

例1：（2009年浙江理10）对于正实数α，记Mα为满足下述条件的函数f（x）构成的集合：且，有

.下列结论中正确的是

A.若f（x）∈Mα1，g（x）∈Mα2，则f（x）·g（x）∈Mα1-α2

B.若f（x）∈Mα1，g（x）∈Mα2，且g（x）≠

0，则

C.若f（x）∈Mα1，g（x）∈Mα2，则f（x）+

g（x）∈Mα1+α2

D.f（x）∈Mα1，g（x）∈Mα2，且α1>α2，则

本题就是考察高等数学中的利普希茨条件：若存在常数K，使得对定义域D的任意两个不同的实数，均有成立，则称f（x）在D上满足利普希茨条件，直观上，符合利普希茨条件的函数的斜率，必小于一个称为利普希茨常数的实数，实际上问题中的正实数α就是这个常数，该常数依函数而定，而问题中的集合就是满足利普希茨条件Mα的函数集合。

例2：（2012福建理7）设函数，则下列结论错误的是（ ）

A.D（x）的值域{0，1}

B.D（x）是偶函数

C. D（x）不是周期函数

D.D（x）不是单调函数

本题以抽象的狄利克雷函数概念作为命题的背景，它是一个处处不连续、处处极限不存在、不可积分的偶函数；它没有具体的图形、解析式和实际背景；它以任何正有理数为周期，但它无最小正周期。

例3：（2011广东理8）

设S是整数集Z的非空子集，如果，有ab∈s，则称S关于数的乘法是封闭的，若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V=Z，且，有abc∈T，，有xyz∈V。

A.T，V中至少有一个关于乘法是封闭

B.T，V中至多有一个关于乘法是封闭

C.T，V中有且只有一个关于乘法是封闭

D.T，V中每一个关于乘法是封闭

本题以高数群论中的数域对运算的封闭为背景命题，主要考察能否理解并用此概念来判断新构建的集合T，V对乘法的封闭性。

二、对高等数学中的问题、概念或原理特殊化，具体化，低维化使之成为具体的初等化内容

它使得高等数学中的一般、抽象的问题变成具体的、适合中学生做的问题，有较强的综合性和新颖性。

例4（2012江西理6）观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11…则a10+b10=（ ）

A.28 B.76 C.123 D.199

本题主要考察斐波那契数列，从这个问题的内部机理来考究，斐波那契数列

递推式an+2=an+1+an的特征方程是x2-x-1=0，而从a+b=1，a2+b2=3，可以发现a+b=1，ab=1，a，b恰好是特征方程的两个根，并且有an+bn=（an-1+bn-1）（a+b）-ab（an-2+bn-2）=（an-1

+bn-1）+（an-2+bn-2），和斐波那契数列的递推式非常吻合，体现了高处出题，初等做题的思想。

三、高等数学中的概念和定理的表述方式，将其转化为等价的初等数学语言

借此回避高数概念，将高等数学语言的思想隐藏在初等数学语言中，借用高等数学语言表述初等内容，考核具有高等数学背景的思想方法。

例5：定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”。现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①；②；③；④。

则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为 （ ）

A.①② B.③④ C.①③ D.②④

本题考查等比数列经历不同的函数变化后等比的“保持性”，引进了一个新的名称——保等比数列函数，无实质的高等数学概念和定理，学生首先要读懂题意，然后再去利用定义求解，抓住实质是关键。

例6：（2012北京理20）设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零.记S（m，n）为所有这样的数表构成的集合。

对于，记ri（A）为A的第i行各数之和（1≤i≤m），cj（A）为A的第j列各数之和（1≤j≤n）.

记为，，…，，，，…，中的最小值.

1 1 -0.8

0.1 -0.3 -1

（Ⅰ）对如下数表A，求k（A）的值；

（Ⅱ）设数表形如

1 1 C

a b -1

求k（A）的最大值；

（Ⅲ）给定正整数t，对于所有的，求k（A）的最大值.

本题不是考察某个确定的高等数学概念，但是语言形式的呈现上是运用高等数学的形式描述集合，有比较多的抽象的符号，具有高度的概括性和一致性，既有逻辑语言的特点，又有矩阵语言的特征。

四、着眼于已知的高等数学定理，从已知的高等数学定理出发，将已知条件等价变形，依次扩大条件和结论之间的距离

将高等数学中的结论作载体搭建高等数学与初等数学的联系，这些载体类别多样，设置各种初等数学背景。

例7：（2012辽宁理12）若，则下列不等式恒成立的是 （ ）

A. B.

C. D.

本题高等数学中对于函数f（x）可以利用泰勒级数展开式展成一个无穷级数的和。

例8.（南通2008第二次调研考试.19）

已知函数如果是增函数，且存在零点（为的导函数。

①求a的值；②设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1解析：（1）略。a=e。

（2）由（1）得

即.

将x2换成x构造函数，定义域为

则，∵即在定义域上单调增，

。即同理可证

点评：本道题目背景是拉格朗日中值定理中值定理：若函数f（x）是在闭区间[a，b]上连续不断的函数，且在区间（a，b）内导数都存在，则（a，b）至少存在一点x0，使得。而我们解决这一问题的手段是通过构造函数，利用导数证明单调性，从而求证不等式。我们学过的指数、对数函数，正弦、余弦函数等都符合拉格朗日中值定理。

高观点下的高中数学教学是数学课程改革的一项重要内容，能不能实行高观点下的高中数学教学，是新课程改革成功的关键。而作为数学老师的我们也只有掌握了高观点的数学思想方法，才能使认识达到一定的高度，才能透过现象看到本质，才不会被事物的假象迷惑，才可以从应试教育的泥潭中跳出来。因此作为数学老师，我们有必要把高等数学中的某些概念和理论与中学数学里相应的原型和特例联系起来，这样，不仅能够加深对高等数学的理解，而且能够使我们准确把握中学数学的本质和关键，从而处理中学教材，用高等数学的思想方法指导中学数学教学，提高教学质量和教学水平，拓广学生的解题思路，提高解题能力。