处理二元变量最值的方法探析

宣进

[摘 要]求二元变量最值或范围的题型几乎每年都出现在高考数学试卷里，而我们的考生在这一题型中失分是非常多的.从理论和实际两个角度阐述和分析高中阶段出现的二元变量的处理方法，以锻炼学生的综合能力.

[关键词]二元变量 最值 分析

一、本质分析

所谓二元变量，就是多了一个字母，其他和高中教材给的一元函数定义完全相同，所以如何突破“两个字母”也就成为我们教学中的重点和难点.大多题目都给定了两个变量满足的条件，这里的条件往往是等式和不等式，或代数变形为等式和不等式，即x、y有一定的内在联系，它们相互制约，并非完全独立.下面通过介绍一道题目的五种不同的处理方法及其内在本质.

二、五种处理方法

题目：已知x，y∈R+，1x+9y=1 ，求x+y的最小值.

1.消元法.由1x+9x=1 ，得y=9xx-1>0，故x>1.

所以z=f（x，y）=g（x）=x+9xx-1=x-1+9x-1+10≥16 ，当且仅当x=4时，等号成立，

所以x+y的最小值为16.

评析：此法就是将条件等式消元为一元函数g（x）来进行处理，解决了“两个字母”的困惑.

2.基本不等式法.x+y=（x+y）（1x+9y）=10+9xy+yx≥16 ，当且仅当x=4时，等号成立，

所以x+y的最小值为16.

评析：此法比较简洁，但其本质还是把“两个字母”处理成“一个字母”，即化为一元函数来处理，只是代数变形不同而已，因为x+y=f（t）=t+9t+10 ，t=yx>0 .若x、y范围的改变使基本不等式取不到等号时，则可用消元法，利用一元函数图像来解决最值问题.

上面两种方法在高考题中有时会综合起来用，如2008年江苏卷11题和2014年江苏卷14题，这两道题都是利用条件等式把三元消为二元，然后代数同除形成“ba+ab”型，换元后即为一元函数，或直接用基本不等式求解，读者可据此自行分析.

3.线性规划法.由1x+ 9y=1，得y=9xx-1=9x-1+9=f（x），x>1 ，

令z=x+y，则y=-x+z=g（x），在平面直角坐标系中作出y=f（x）的图像如右图， 目标函数y=g（x）平移到切点A（x0，f（x0））时，z取最小值，

由f′（x0）=-9（x0-1）2=-1 ，得x0=4或x0=-2（舍去），

将x0=4代入切点f（x0），得A（4，12），故z=x+y的最小值为16.

评析：此法本质还是化为一元函数来处理.利用两个一元函数的图像（其图像是曲线，而不是二元函数的曲面） 有交点，平移使得直线截距z最小，从而在切点处取得.这是一个代数到几何的过程.这种方法也适用于条件是不等式的题型，如2013年江苏卷9题和2012年江苏卷14题，当然，后题在线性规划前还是要用到上面所提到的同除的代数方法把三元变二元，读者可自行分析.

4.三角换元法.令 1xcos2θ

9x=sin2θ ，则 x=1cos2θ

y=9sin2θ ，

故x+y=1cos2θ+ 9sin2θ= sin2θ+9cos2θsin2θcos2θ= 1+8cos2θ 14sin2θ = 4（5+4cos2θ）1-cos22θ ，

令t=5+4cos2θ，t∈[1，9]，x+y=f（t）= 64-t-9t +10 ，故当t=3，即x=4，y=12时，fmin（t）=16，

所以当x=4，y=12时，x+y的最小值为16.

评析：此法本质也是化为一元函数处理，利用条件等式和三角函数的平方关系化x+y=φ（θ），换元后为x+y=f（t）.当然了，就本题而言，不必要采取这样的代数变形，但其过程呈现了给定条件下二元变量的处理方法的本质，就是化为一元变量来处理.若对“已知x2+y2=1，求x+y的最小值”这一类而言，此种方法就体现得很有力了，相反，消元法就显很麻烦.也就是说，三角换元是针对所给的条件不同而采取的一种特殊的消元法.

5.“Δ”法.令k=x+y，则关于x，y的方程组 1x+9y=1

k=x+y 有解，

整理得关于x的一元二次方程x2+（8-k）x+k=0 有解，

则Δ=k2-20k+64≥0，解得：k≥16或k≤4，又x，y∈R+，1x+9y=1， 得y=9x-1+9>9，

所以k≥16，即x+y的最小值为16.

评析：此法是由线性规划变化而来，几何上的曲线1x+9y=1 与曲线k=x+y有交点问题转化为方程组有解，从而进一步转化为一元二次方程有解，这就可用Δ列出不等式，进而求解.这一过程也就是代数最值问题到几何交点问题，再到代数方程有解问题之间“数——形——数”的转化，但其本质还是化归为一元函数来处理，只不过要具备函数与方程思想：把两个一次曲线交点问题转化为一元二次方程有解问题.任何给定条件的二元变量最值问题若能转化为一元二次方程，都适用此法.如“已知x2+xy+y2=1，求2x+y的最小值”，若用消元法，不太好用x表示y，即无法消元;若用基本不等式法，学生拼凑基本不等式很困难;若用线性规划法，多数高中生画不出曲线x2+xy+y2=1的图像;若用三角换元法，无法利用代数变形得到（x+y2 ）2+（3y2）2=1，也不好实现三角换元，所以此法有时可看成是“万能”的.

从上述五种不同方法我们不难看出，处理高中阶段给定条件的二元变量最值问题的关键是能否将其有效地转化为一元函数来处理，这就要求学生具备一定的代数变形能力，具备消元、换元思想，具备从函数与方程这两个不同角度看待同一个代数等式的能力，具备从数到形、从形到数的数形结合思想.所以，有效地处理好这类二元变量最值问题能很好地锻炼学生的综合能力，从而解决更多的数学问题.