一点定直线 形同意不同

汪志强

[摘 要]众所周知，两点能确定一条直线，但在几何中特定情况下，也有一点“确定”的直线.基于此，对二次曲线切线和切点弦所在直线方程进行推广与研究.

[关键词]定点 推广 研究

众所周知，几何上有两点确定一条直线.但在几何中，特定情况下的确也有由一点“确定”的直线.比如，给定点P（x0，y0），对于圆、椭圆、双曲线、抛物线来说，若点P在其曲线上，过点P只有一条切线;若点P在其曲线外，可作两条切线，但两个切点所在的直线是唯一的.（两个切点所在的直线，以下简称为“切点弦直线”）

一、问题的发现

对于已知定点P（x0，y0）和圆的方程，易得到以下两结论.

结论1 已知圆C的方程为x2+y2=r2，圆C上点P（x0，y0），则过点P关于圆C的切线方程为：x0x+y0y=r2.

结论2 已知圆C的方程为x2+y2=r2，圆C外点P（x0，y0），则过点P关于圆C的切点弦所在的直线方程为：x0x+y0y=r2.

从上面的两个结论来看，至少有两个问题值得注意：一是两条直线所表示的意义不同，但是直线方程完全一样，只跟点P（x0，y0）的坐标有关;二是直线方程的结果与原来圆的方程结构相同，只是变量x和y的二次项中，分别把其中的一个x和y用点P的坐标x0和y0代替.

推广1：已知圆C的方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，圆C上（或外）一点P（x0，y0），则过点P关于圆C的切线（或切点弦）直线方程为：（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2.

二、推广与研究

1.过定点P（x0，y0）有关椭圆的切线和切点弦直线方程

结论3 已知椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1 ，椭圆C上（或外）一点P（x0，y0），则过点P关于椭圆C的切线（或切点线直线）方程为：x0xa2+ y0yb2=1 .

推广2：已知椭圆C的方程为（x-m）2a2+ （y-n）2b2=1 ，椭圆C上（或外）一点P（x0，y0） ，则过点P关于椭圆C的切线（或切点弦）直线方程为：

（x0-m）（x-m）a2 +（y0-n）（y-n）b2=1 .

2.过定点P（x0，y0）有关双曲线的切线和切点弦直线方程

结论4 已知双曲线C的方程为x2a2-y2b2=1 ，双曲线C上一点P（x0，y0），则过点P关于双曲线C的切线方程为：x0xa2-y0yb2=1 .

结论5 已知双曲线C的方程为x2a2-y2b2=1 ，双曲线C外一点P（x0，y0）（不在其渐近线上），则过点P关于双曲线C的切点弦直线方程为：x0xa2-y0yb2=1 .

3.过定点P（x0，y0）有关抛物线的切线和切点弦直线方程

对于抛物线的方程x2=2py，其中2py=py+py，自然想到x·x=py+py.

结论6 已知抛物线C的方程为x2=2py（p≠0），抛物线C上（或外）一点P（x0，y0），则过点P关于抛物线C的切线（或切点弦直线）方程为：x0x=p（y+y0）.

引申：已知抛物线C的方程为y2=2px（p≠0），抛物线C上（或外）一点P（x0，y0），则过点P关于抛物线C的切线（或切点弦）直线方程为：y0y=p（x+x0）.

三、应用与思考

【案例】 （2013·山广东高考）过点（3，1）作圆（x-1）2+y2=1的切点分别为A、B，则直线AB的方程为（  ）.

A.2x+y-3=0    B.2x-y-3=0

C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0

由结论2知，直线AB的方程为（3-1）（x-1）+1·y=1，化解得2x+y-3=0，故选A.因此，案例说明上面的研究结果是很有价值的.但是值得注意的是： （1）上面研究的结论条件是点P（x0，y0）必须在曲线上或其外侧; （2）曲线只能是二次方程的曲线; （3）定点P（x0，y0）对于一般的二次方程的曲线C：Ax2+By2+2Cxy+2Dx+2Ey+F=0 都有同样的结果吗？

据前面研究结果的规律，上面方程主要考虑2Cxy这一项如何处理，由于结果是直线方程，故可能是C（x0y+xy0）.

猜想推论：若定点P（x0，y0）在二次曲线M：Ax2+By2+2Cxy+2Dx+2Ey+F=0上（或其外侧），则点P关于曲线M的切线（或切点弦）直线方程为：Ax0x+By0y+C（x0y+xy0）+D（x0+x）+E（y0+y）+F=0.