勾股定理与折叠问题的不解之缘

朱宸材

在近年的中考试卷中，出现了大量的图形操作类题，通过对图形的折叠、剪拼等变换手段，为同学们提供一个动手操作、说理验证的问题情景，此类问题在四边形知识点的考查方面表现得尤为突出，现选取和折叠有关的中考题加以解析，供同学们参考.

一、判断图形形状

例1 （潍坊）如图1，矩形纸片ABCD中，AB=8.将纸片折叠，使顶点B落在AD边的E点上，折痕的一个端点G在BC边上，BG=10.折痕的另一个端点F在AD边上.请证明四边形BGEF为菱形，并求出折痕FG的长.

解析：由图形的折叠可知四边形

∴ BG=EF，从而四边形BCFF为平行四边形.

又EF=EC，故平行四邊形BGEF为菱形.

作FK⊥BC于K，如图2，BF=10，FK=8，由勾股定理可得BK=6.所以KG=10-6=4.

点评：找出折叠前后相等的角，再将角度的关系转化为边之间的关系，是解题的关键.菱形的判定方法较多，要学会选择.

二 求图形的面积

例2 （淄博）矩形纸片ABCD的边长AB=4，AD=2.将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合.折叠后在其一面着色，如图3，则着色部分的面积为（）.

解析：根据折叠可知，梯形我们可以将着色部分的面积看作是梯形AEFD的面积加上△CEB的面积.如图4所示，连接AF，可以证明出四边形AECF为菱形（理由同例1），则AE=CE=CF.设BE=x，则AE=CE=4-x.在Rt△CEB中，有，得x=1.5，则CF=A E=CE=4-x=2.5，DF=1.5.故梯形AEFD的面积为（1.5+2.5）x2÷2=4，△CEB的面积为，则着色部分的面积为，故选B.

点评：矩形折叠可得到菱形，值得注意

三 求点的坐标

例3 （兰州）如图5，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片.O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5.OC=4.在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点0落在BC边上的点E处，求D，E两点的坐标.

解析：依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴.在Rt△ABE中，AE=OA=5，AB=4.

∴ BE=3.从而CE=2.

∴ E点坐标为（2，4）.

在Rt△DCE中，又因为DE=OD，

∴ D点坐标为

点评：把求点的坐标转化为求直角三角形中某条边的长度，即可求解.

图形折叠问题实质上是对称问题的一种特殊形式.在处理图形折叠问题时，关键是抓住下面两点：

（1）折叠前后的不变量：折叠前后对应的边相等，对应的角相等.

（2）折叠前后的变化量：折叠前后对应顶点之间的线段被折痕垂直平分.