集合与常用逻辑用语

郭联福 邹同俭

纵观近几年高考的集合与常用逻辑用语题，可谓精彩纷呈.在设问上，“新而不难，活而不偏”，重视理解、把握了本质.在命题思路上，仍然注重基础，注重知识交汇. 预计集合与充要条件仍然是考查的重点，命题及真假性的判断也不能忽视，这种命题思路仍将延续.

元素与集合的关系

这类题主要考查集合的基本概念、对集合的理解、元素与集合的关系，意在考查我们的数形结合能力和运算能力.常用的解法有列举法、图解法（画出数轴或维恩图）以及语言转换法等.

例1 已知集合[A=1，2，3，4，5]，[B={（x，y）|x∈A，][y∈A，x-y∈A}，]则[B]中所含元素的个数为（ ）

A. 3 B. 6

C. 8 D. 10

分析 集合[B]中的元素是点集[→] 对[x，y]赋值，[x∈A]，[y∈A][→]判断[x-y]是否属于[A][→]进而确定集合[B]中的元素.

解 当[x=5∈A]，[y=1∈A]，

则[x-y=4∈A]，即点[（5，1）∈B].

同理（5，2）[∈][B]，（5，3）[∈][B]，（5，4）[∈][B]，（4，1）[∈][B]，（4，2）[∈][B]，（4，3）[∈][B]，（3，1）[∈][B]，（3，2）[∈][B]，（2，1）[∈][B]，所以[B]中所含元素的个数为10.

答案 D

点拨 求解本题的关键是过好三关. 第一关是“区别关”，注意数集与点集的区别. 容易出现两个方面的错误：一是书写错误，如把点集[（1，2）]误写为[1，2]或[x=1，y=2]等；二是理解上的错误，如把数集[y|y=x2+1，x∈R]错误地理解为[（x，y）|y=x2+1，x∈R]或[x|y=x2+1，x∈R]等. 第二关，“运算关”，利用集合元素的三个特性，尤其是元素的互异性判断元素个数，常把两个相同的对象错算作集合中的两个元素. 第三关“周密关”，对[x，y]赋值，[x∈A]，[y∈A]时要周密，按照一定的顺序取值，做到不重不漏.

集合与集合之间的关系

这类题常结合不等式的求解、函数的定义域、值域或新定义等知识，来考查两个集合之间的包含关系及利用两个集合之间的包含关系求解参数的取值范围等.目的是考查我们解不等式的能力、综合运用知识的能力、数形结合能力以及理解运算能力.

例2 设集合[A={（x，y）|x24+y216=1}]，[B={（x，y）|y=3x}]，则[A?B]的子集个数是（ ）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

分析 集合翻译成图形语言[→][A]表示椭圆，[B]表示指数函数的图象[→]利用两个图象的交点个数解题.

解 集合[A]是以原点为对称中心，长半轴长为4，短半轴长为2的椭圆；集合[B]是经过点（0，1）的指数函数的图象，数形结合，可以找到两个图象的两个交点，所以[A?B]中有两个元素，[A?B]的子集个数是4.

答案 A

点拨 首先要搞清楚集合的属性，再根据属性选择适当的方法.如本题的两个集合是两个图象上的点集，就可以采用数形结合的方法求解.求两个点集的交集的子集个数问题的关键：首先，过好转化关，即把求两个点集的交集的子集个数转化为求两个图象的交点个数问题；其次，过好画草图关，把两个图象画出来，注意画草图的技巧，关键点描出来，记住“草图不草”；最后，利用列举法或公式法，求出子集个数.一般地，集合[A=a1，a2，…an]含有[n]个元素，其子集的个数为[2n]，其真子集个数[2n]-1，非空真子集个数[2n-2]，利用这个结论可以加快解题速度.

命题及其关系

这类题主要考查四种命题的关系、逻辑连接词、全称量词与存在量词等基础性知识. 特别注意命题的否定与否命题的区别.

例3 设命题[P]：[?n∈N，n2>2n，则?p为]（ ）

A. [?n∈N]， [n2>][2n]

B. [?n∈N]， [n2≤][2n]

C. [?n∈N]， [n2≤][2n]

D. [?n∈N]， [n2=][2n]

分析 将命题中的“存在”改为“任意”[→]将结论进行否定.

解 命题[P]是特称命题，其否定是全称命题.

所以[?n∈N，n2>2n，则?p为]：[?n∈N]， [n2≤][2n].

答案 C

点拨 对含有全称（存在）量词的命题进行否定需要两部操作：第一步，将全称（存在）量词改写成存在（全称）量词；第二步，将结论加以否定.含有全称量词的命题的否定是含有存在量词的命题.含有存在量词的命题的否定是含有全称量词的命题.注意命题中可能省略了全称或存在意义的量词，需要认真判断.特别注意区别“命题的否定”与“否命题”. 理解记忆常用词语的否定，如：“都是”的否定是“不都是”“至多有[n]个”的否定是“至少有[n+1]个”等.

充要条件

充要条件既可以全面认识有关数学知识的前因后果，也可以探索数学命题的来龙去脉. 因此充要条件的考题一直受到命题者的青睐. 试题多与集合、函数、方程、不等式、三角函数、立体几何等知识交汇考查.

例4 “[φ=π]”是“曲线[y=sin（2x+φ）]过坐标原点”的（ ）

A. 充分而且不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

分析 将[φ=π]代入曲线[y=sin（2x+φ）][→]利用诱导公式与三角函数图象判断已知曲线是否经过坐标原点[→]由曲线[y=sin（2x+φ）]过坐标原点判断[φ]是否一定等于[π][→]作出选择.

解 当[φ=π]时，[y=sin（2x+π）]，

即[y=-sin2x]的图象经过坐标原点.

条件能推出结论，所以条件是充分的.

反过来，当曲线经过坐标原点时，[φ=kπ]，[k∈Z]不一定有[φ=π]，即结论不能推出条件.

所以条件是结论成立的不必要条件.

答案 A

点拨 （1）充要条件的判断问题，一定要先搞清楚谁是条件，谁是结论，条件能否推出结论. 若能，则条件是结论成立的充分条件；再看结论能否推出条件，能，则条件是结论成立的必要条件；能够互推，则条件是结论成立的充要条件.

（2）本题是三角函数与充要条件交汇的问题，解题突破口是熟练掌握三角公式和三角函数的图象与性质，并且抓住充要条件的定义和“以小推大”（小范围是大范围的一部分，小范围成立则大范围必成立）的技巧.

（3）充要条件的命题范围很广，可以以数学中任意的知识作为背景命题，但万变不离其宗，紧扣（1）即可. 同时注意该知识的特性，结合起来考虑是可以轻松解决的. 注意，对假命题的判断只需举一个反例就行了.