“鸡免同笼”问题的解法

杨国义

例1 王奶奶养了30只鸡和兔，这些鸡兔共有96只脚，鸡和兔各有多少只？

假设都是鸡，那么一共有脚30×2=60（只），比实际少96-60=36（只）。用一只兔去换一只鸡，可以增加（4-2）只脚；要增加36只脚，需要用36÷（4-2）=1 8（只）兔去换鸡。所以兔有18只，鸡有30-18=12（只）。

假设都是兔，该怎样算呢？请你自己试试吧。

提醒：假设都是鸡，先算出的是兔的数量；假设都是兔，则先算出的是鸡的数量。

如果鸡兔总数较少，可以列如下表1找答案。像本题鸡兔总数较多，可以从鸡兔各占一半算起。如下表2，鸡、兔各有1 5只，共有脚90只，比实际96只略少，所以应减少鸡增加兔。你能接着填表找出答案吗？

如果每只鸡都是“金鸡独立”，一只脚站着；每只兔像人一样用两只脚站着，那么落地的脚还有96÷2=48（只）。这时每只鸡一只脚，每只兔两只脚。只要兔多一只，脚的总数就比头的总数多1，此时脚的总数比头的总数多48-30=18，所以兔有18只，鸡有30-18=12（只）。瞧，一次除法和一次减法就算出了兔子数，很简单吧！但如果“脚数”不是4和2（如：三轮车和小轿车的“车轮数”分别是3和4），就不能用这种算法了。

例2 停车场里有两轮摩托车、三轮农用车、四轮小汽车共37辆，各种轮子共有118个，已知四轮小汽车比三轮农用车的3倍多1辆，两轮摩托车有多少辆？

这是一个较复杂的“鸡兔同笼”问题，用假设法解比较方便。

根据“四轮小汽车比三轮农用车的3倍多1辆”，假设四轮小汽车减少1辆，则四轮小汽车正好是三轮农用车的3倍。这样，三种车共有37-1=36（辆），共有轮子118-4=114（个）。假设这些车都是两轮摩托车，则轮子总数是2×36=72（个），比114个少42个。因为四轮小汽车的辆数是三轮农用车的3倍，所以每次要同时用1辆三轮农用车和3辆四轮小汽车（共有3+4×3=15个轮子），去换4辆两轮摩托车（共有2×4=8个轮子）。每换一次，可以增加15-8=7（个）轮子，要使轮子总数达到114个，即增加42个，一共要换42÷7=6（次）。所以，三轮农用车有6辆，四轮小汽车有6×3+1=19（辆），两轮摩托车有37-6-19=12（辆）。

小试身手

1 养殖场里养了猪和鹅共27只，共有86条腿。养殖场养了（ ）头猪，（ ）只鹅。

2 停车场里共有三轮农用车、四轮小汽车和六轮大卡车44辆，各种轮子共有171个，已知四轮小汽车比六轮大卡车的2倍少1辆，四轮小汽车和三轮农用车各有多少辆？