GM（1，1）模型在中国人口序列预测中的应用

顾翠伶 王宁 梁艳艳

摘 要：本文对1990-2014年我国人口时间序列进行分析，建立GM（1，1）模型，对未来人口数进行分析，为相关政策的制定提供依据。

关键词：GM（1，1）模型;预测;残差检验;后验差检验;关联度检验

人口预测在政治、经济、环境、教育、医疗卫生、农业生产等方面都有非常重要的应用。人口时间序列预测是根据一个历史的序列观测值，找出符合人口变化规律的函数，根据这个函数将历史观测值作为输入值，预测出未来的人口值。本文对1990-2014年我国人口时间序列进行分析，建立GM（1，1）模型，对未来人口数进行分析，为相关政策的制定提供依据。

1 GM（1，1）模型原理

灰色预测法是一种对不确定性因素的系统进行预测的方法[1]，就是对在一定范围内变化的、与时间有关的灰色过程进行预测。灰色时间序列预测是灰色预测的一种，灰色系统常用的数据处理有两种方式，累加和累减两种。

累加是将原始序列通过累加得到生成列。记原始时间序列为：

则一次累加生成列为：

同理可做m次累加，有：

累减是累加的逆运算，累减可将累加生成列还原为非生成列，在建模中获得增量信息。一次累减的公式为：

设时间序列X（0）有n个观察值，X（0）={X（0）（1），X（0）（2），…，X（0）（n）}通过累加生成新序列X（1）={X（1）（1），X（1）（2），…，X（1）（n）}，则GM（1，1）模型相应的微分方程为：

求解微分方程即可得到预测模型为：

2 GM（1，1）模型的检验

灰色预测检验一般包括残差检验、关联度检验和后验差检验。

2.1 残差检验。按照预测模型计算，并将累减生成，然后计算原始序列与＼1-297＼96-x2.jpg>的绝对误差序列及相对误差序列。

2.2 关联度检验。根据关联度的计算方法，计算出＼1-297＼96-x2.jpg>与原始序列＼1-297＼96-x2.jpg>的关联系数，然后计算出关联度，根据经验，当ρ=0.5时，关联度大于0.6便满意了。

2.3 后验差检验

计算原始序列的标准差：

计算绝对误差序列的标准差：

计算方差比：

计算小误差概率：

表1  GM（1，1）模型精度检验等级参照表

[＼&指标名称＼&精度等级＼&相对误差＼&关联度＼&方差比＼&小误差概率＼&1优

2良好

3合格

4不合格＼&0.05

0.10

0.20

0.30＼&>0.80

>0.70

>0.60

>0.50＼&≤0.35

≤0.50

≤0.65

≥0.65＼&≥0.95

≥0.80

≥0.70

<0.0＼&]

3 GM（1，1）模型在我國人口序列预测中的应用

这里利用1990-2014年河南省GDP时间序列作为已知序列，建立GM（1，1）模型对未来值进行预测。对原始序列进行累加，得到一次累加生成序列X（1）。通过累加生成序列X（1）建立GM（1，1）模型，利用MATLAB软件进行最小二乘求解，可以得到：

因而灰色预测微分方程为：

化简即可得到预测模型为：

计算拟合值及模型预测值。

下面对该模型的预测精度进行检验。实践中可以计算得到绝对误差序列为：

Δ（0）={0，0.3344，0.2735，0.2144，0.1619，0.1102，0.0621，0.0246，

0.0014，0.0201，0.0356，0.0358，0.0348，0.0333，0.0167，0.0189，0.0067，0.0624，0.0183，0.2553，0.1424，0.0748，0.0913，0.1041}

相对误差序列为：

A={0，0.0285，0.0231，0.0179，0.0133，0.0090，0.0050，0.0020，0.0010，

0.0016，0.0028，0.0028，0.0027，0.0026，0.0013，0.0106，0.0055，0.0067，0.0076}

相对误差都小于0.05，预测精度很高。

计算关联度：

min{Δi0}={0，0.3344，0.2735，0.2144，0.1619，0.1102，0.0621，0.0246，

0.0014，0.0201，0.0356，0.0358，0.0348，0.0333，0.0167，0.0189，0.0067，

0.0624，0.0183，0.2553，0.1424，0.0748，0.0913，0.1041}=0

max{Δi0}={0，0.3344，0.2735，0.2144，0.1619，0.1102，0.0621，0.0246，

0.0014，0.0201，0.0356，0.0358，0.0348，0.0333，0.0167，0.0189，0.0067，

0.0624，0.0183，0.2553，0.1424，0.0748，0.0913，0.1041}=0.3344

关联系数为：

由关联系数计算相关系数为：

计算原始序列的标准差：

所有的ei都小于S0，故P=1，C<0.35，

模型有较好的预测精度。

模型经过检验后可以用于预测，預测公式为：

对未来6年的数值进行预测，结果见表2所示。由预测结果知未来几年我国人口将保持持续增长。

表2  利用GM（1，1）模型对序列未来值进行预测

[年份＼&2015＼&2016＼&2017＼&2018＼&2019＼&2020＼&预测值＼&13.8667＼&13.9515＼&14.0369＼&14.1227＼&14.2092＼&14.2961＼&]

参考文献：

[1]徐国祥.统计预测和决策[M].上海：上海财经大学出版社，2014.