关注曲线中的“切过”

杨先进　曹轩

（2015年湖北八校联考第一次考试第10题）设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线方程为l：y=g（x），当x≠x0时，若h（x）-g（x）x-x0>0在D内恒成立，则称P为函数y=h（x）的“类对称点”，则f（x）=x2-6x+4lnx的“类对称点”的横坐标是（）.

A.1B.2C.eD.3

初读此题，发现题目虽给出了一个新的概念：“类对称点”，但其实此题是根据2007年湖南高考题改编而来，只不过是换了一个名词和一个新的函数，我们先来重温下这道高考题：

（2007年湖南卷文科压轴题）已知函数f（x）=13x3+12ax2+bx在区间[-1，1），（1，3]内各有一个极值点.（Ⅰ）略（Ⅱ）当a2-4b=8时，设函数y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线为l，若l在点A处穿过函数y=f（x）的图象（即动点在点A附近沿曲线y=f（x）运动，经过点A时，从l的一侧进入另一侧），求函数f（x）的表达式.

此题的题干中有一段描述性的文字描述了曲线与其切线的关系，而且还在后面专门又作了注释，这在高考题中是很少见的，其实从图形语言来看，很容易知道曲线与其切线在切点附近，有如下两种情况：

图1图2

根据这两种情况，我们可以从如下2个角度来考虑曲线和切线的关系：

视角1构造新函数F（x）=f（x）-g（x），由图1可以看出新函数的函数值在切点的左边附近减小，而在右边附近增大，可以知道新函数应该在x=x0处取得极值，而图2中的新函数的函数值在切点附近呈单调趋势，此题正是图2的文字描述，高考命题组给出的解法也是基于这一想法而给出的解答，解答如下：

事实上，如图2，曲线在x=x0的情形其实就是高等数学中拐点的定义，上述三题本质上都是考查了函数拐点的必要条件.

拐点定义（根据高等数学同济6版上册第151页）

一般的，设y=f（x）在区间I上连续，x0是I的内点（除端点外的I内的点）.如果曲线y=f（x）在经过点x0，f（x0）时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点x0，f（x0）为这曲线的拐点.

拐点的必要条件设f（x）在（a，b）内二阶可导，x0∈（a，b），若x0，f（x0）是曲线y=f（x）的一个拐点，则f″（x0）=0.

拐点的充分条件：设f（x）在（a，b）内二阶可导，x0∈（a，b），f″（x0）=0，若在x0两侧附近f′（x）异号，则点x0，f（x0）为曲线的拐点.否则（即x0两侧附近f′（x）保持同号），（x0，f（x0））不是拐点.

一般来说函数的一，二阶导数基本给出了人们通常感兴趣的函数特征，因此，如果对函数的一二阶导数有较好的理解，对函数的基本形态也基本了解了.

数学考试说明明确指出，数学科考试要“发挥数学作为基础学科的作用，既考查中学数学知识和方法，又考查考生进入高校继续学习的潜能”.因此高考中会有很多大学知识通过变化巧妙地渗透到试题中，因此在日常教学中，作为中学教师要有意识地向学生介绍一些高等数学中的公式和定理，这样不但可以增加数学知识，扩大解题途径，还可以激发学生的求知欲望，让他们懂得，站得高才能看得远.作者简介杨先进，男，湖北京山人，1981年10月生，中学一级教师.主要研究高考解题研究和教学教法，多篇文章发表.