Brauer特征标的诱导与限制

王 坚，曾吉文

（1.龙岩学院数学与计算机科学学院，福建龙岩364012；2.厦门大学数学科学学院，福建厦门361005）

Brauer特征标的诱导与限制

王 坚1，曾吉文2*

（1.龙岩学院数学与计算机科学学院，福建龙岩364012；2.厦门大学数学科学学院，福建厦门361005）

设H⊆G且χ∈Irr（G），φ∈IBr（G），Cossey等给出了χ=βG对χH的每个不可约成分β都成立的一个充分条件；同时，给定β∈Irr（H），也得到了一个使β=χH对βG的每个不可约成分χ都成立的条件·我们通过讨论φ的零化元，给出了（φH）G是φ的倍数的一个刻画·对偶地，对于α∈IBr（H），也给出了（αG）H是α的倍数的一个刻画·

Brauer特征标；p-正则元；零化元

若χ是G的一个常特征标，则V（χ）是由G中所有满足χ（x）≠0的元素x生成的子群·这个非零化子群很显然是G的唯一的最小的子群V使得χ在G￣V中零化·此外，因为χ是G的一个共轭类函数，所以V（χ）G·类似的，我们可以定义一个Brauer特征标的非零化子群·若φ是G的一个Brauer特征标，则V（φ）是由G中所有满足φ（x）≠0的p-正则元x生成的子群·这是使得φ在G0￣V0中零化的唯一最小子群·类似的，V（φ）G·

1 预备知识

受文献［1］的启发，从诱导特征标的定义出发来讨论Brauer特征标的诱导、限制与零化元之间的关系.下面引进一些记号，G指一个有限群，p是一个固定素数· G0是p-正则元的集合，即IBr（G）是G的不可约p-Brauer特征标的集合·设H⊆G，coreG（H）指包含于H的G的最大的正规子群·为方便起见，当素数p选定之后，将p-Brauer特征标简写为Brauer特征标·其他的记号，可参见文献［2］·

2 主要结果

定理1 设H⊆G且φ∈IBr（G），令N= coreG（H）.则下列条件等价.

1）（φH）G是φ的倍数·

2）φ在G0￣N0中零化·

3）φ在G0￣H0中零化·

对任意的x∈G0，有

因为φ是G的G0上的共轭类函数，当y∈H0与x关于G共轭，可以得出·从而

其中m是g∈G中满足gxg￣1∈H的g的数目·

首先设（φH）G是φ的倍数·通过计算次数可以得到（φH）G=｜G∶H｜φ，因此对于任意的x∈G0，有

其中m如上所述·若φ（x）≠0，则m=｜G｜并且对任意的g∈G，gxg￣1∈H，从而有x∈N·因此得到了2）·

反过来，设φ在G0￣N0中零化·通过比较（φH）G与｜G∶H｜φ在G0上的取值来推出它们相等·若x∉N0，则，其中m如上所示：此时｜G∶H｜φ（x）=0·若x∈N0，则（φH）G（x）=｜G∶H｜φ（x）·因此命题得证·

上述定理中的条件（φH）G是φ的倍数等价于（φN）G是φ的倍数·在这种情形下，φN的一个不可约成分θ关于G的诱导也是齐次的，从而根据Clifford定理θ关于IG（θ）的诱导也是齐次的，其中IG（θ）是θ在G中的稳定化子，当p≠5时，由文献［3］的主要结果可以得到IG（θ）/N可解·

证明 设φ是ρG的一个在G0￣N0中零化的不可约成分·根据定理1应用到H=N，则（φN）G是φ的倍数·根据文献［2］的推论8.7，ρ是φN的不可约成分，因此ρG是φ的倍数，并且φ是ρG的唯一的不可约成分·

反过来，设φ是ρG的唯一的不可约成分·根据文献［2］的推论8.7，φN的每个不可约成分ζ都与ρ关于G共轭，根据文献［4］的第3章的引理1.8，ζG=ρG是φ的倍数，因此（φN）G是φ的倍数·所以，根据定理1，φ在G0￣N0中零化·

下面讨论H的不可约Brauer特征标α诱导到G再限制到H后是α的倍数的情况.

定理2 设H⊆G且α∈IBr（H），令N= coreG（H），则下列条件等价：

1）（αG）H是α的倍数·

2）αN是G-不变的并且α在H0￣N0中零化·

证明 对任意的x∈G0，

首先，设（αG）H是α的倍数·当x，y∈H0关于G共轭时，易得α（x）=α（y）·特别地，αN是G-不变的·

设h∈H0，若ghg￣1∈H，则.α（ghg￣1）= α（ghg￣1）=α（h），从而αG（h）=（m/｜H｜）α（h），其中m如定理1证明所述·

因为（αG）H是α的倍数，比较次数可以知道（αG）H=｜G∶H｜α，从而，对于h∈H0，有

其中m如上所述·若α（h）≠0，则m=｜G｜并且对任意的g∈G，ghg￣1∈H，从而有h∈N·因此α在H0￣N0中零化·

反之，若αN是G-不变的并且α在H0￣N0中零化·为了推出（αG）H=｜G∶H｜α，我们证明（αG）与α对任意h∈H0取值都相等·首先，设h∉N，则α（h）=0，从而｜G∶H｜α（h）=0·下面来证明αG（h）=0，对任意的g∈G，若ghg￣1∉H，则.α（ghg￣1）=0；若ghg￣1∈H，则ghg￣1∉N，从而.α（ghg￣1）=α（ghg￣1）=0·若h∈N，则.α（ghg￣1）=α（ghg￣1）=α（h）·因此，αG（h）=｜G∶H｜α（h）·

注 在定理2中，因为αN是G-不变的且α在H0￣N0中零化·从而V（α）=V（αN）G·当p ｜G｜，根据文献［2］的定理2.12，IBr（G）=Irr（G）且G0=G，上面3个结论分别推广了文献［1］的定理2.1、推论2.2以及定理2.3·

［1］ Cossey J P，Isaacs I M，Lewis M L.Induction and restriction of characters and Hall subgroups［J］.J Algebra，2013，383：129-143.

［2］ Navarro G.Characters and blocks of finite croups［M］.Cambridge：Cambridge University Press，1998：24，158，273-276.

［3］ Navarro G，Späth B，Tiep P H.On fully ramified Brauer characters［J］.Adv Math，2014，257：248-265.

［4］ Nagao H，Tsushima Y.Representations of finite groups［M］.Boston：Academic Press，1989：172.

Induction and Restriction of Brauer Characters

WANG Jian1，ZENG Ji-wen2*
（1.Department of Mathematics and Computer Science，Longyan University，Longyan 364012，China；2.School of Mathematical Sciences，Xiamen University，Xiamen 361005，China）

Let H⊆G，χ∈Irr（G）andφ∈IBr（G）.Cossey obtain a sufficient condition forχ=βG，whereβ∈Irr（χH）.Simultaneously，given a characterβ∈Irr（H），they get a condition satisfyβ=χH for every irreducible constituentχofβG.In this paper we determine when it happens that（φH）Gis a multiple ofφby investigating the vanishing elements ofφ.Dually，we give a description to determine that（αG）His a multiple ofαforα∈IBr（H）.

Brauer character；p-regular element；vanishing element

O 152.6

A

0438-0479（2015）04-0502-02

10.6043/j.issn.0438-0479.2015.04.011

2014-09-08 录用日期：2014-11-20

龙岩学院博士科研启动经费（LB2014006）

*通信作者：jwzeng＠xmu.edu.cn

王坚，曾吉文.Brauer特征标的诱导与限制［J］.厦门大学学报：自然科学版，2015，54（4）：502-503.

：Wang Jian，Zeng Jiwen，et al.Induction and restriction of Brauer characters［J］.Journal of Xiamen University：Natural

Science，2015，54（4）：502-503.（in Chinese）